Diagonalizacja

Niniejszy artykuł jest częścią cyklu macierze.

Niektóre typy macierzy macierz diagonalna macierz dodatnio określona macierz elementarna macierz hermitowska macierz idempotentna macierz jednostkowa macierz klatkowa macierz nieosobliwa macierz nilpotentna macierz ortogonalna macierz osobliwa macierz rzadka macierz schodkowa macierz skalarna macierz symetryczna macierz trójkątna macierz unitarna macierz wstęgowa macierz zerowa Operacje na macierzach mnożenie przez skalar dodawanie i odejmowanie mnożenie macierzy odwracanie macierzy transpozycja macierzy sprzężenie macierzy operacje elementarne macierz dopełnień algebraicznych macierz dołączona diagonalizacja postać Jordana Inne zagadnienia wyznacznik macierzy ślad macierzy widmo macierzy minor macierzy rząd macierzy wielomian charakterystyczny

edytuj ten szablon

Diagonalizacja to rozkład macierzy polegający na rozbiciu macierzy kwadratowej $A \in M_k(K)$ na iloczyn macierzy $P, \Delta, P^{-1} \in M_k(K)$:

$A=P \Delta P^{-1},\!$

gdzie

• $\Delta\!$ jest macierzą diagonalną,
• $P, P^{-1}\!$ są nazywane macierzami przejścia.

Współczynniki na głównej przekątnej macierzy diagonalnej $\Delta$ są równe kolejnym wartościom własnym macierzy $A$, z kolei kolumny macierzy $P$ stanowią kolejne wektory własne macierzy $A$.

Macierze kwadratowe, które można przedstawić w postaci diagonalnej, nazywamy diagonalizowalnymi.

Rozkład Jordana i rozkład wartości osobliwych to dwa różne uogólnienia diagonalizacji, działające dla dowolnych macierzy.

Zastosowanie

Diagonalizacja ułatwia potęgowanie macierzy:

$A^n = (P \Delta P^{-1})^n = \overbrace{ P \Delta P^{-1} P \Delta P^{-1} \dots P \Delta P^{-1} }^{n}$

$= P \Delta^n P^{-1} = P \operatorname{diag}(\lambda_1^n \dots \lambda_k^n) P^{-1}$,

gdzie:

• $P^{-1} P = I_k\!$, gdzie $I_k\!$ jest macierzą jednostkową wymiaru $k$,
• $\lambda_1, \dots, \lambda_k$ są wartościami własnymi macierzy $A$,
• $\Delta^n = \operatorname{diag}(\lambda_1^n \dots \lambda_k^n)$ jest macierzą diagonalną o współczynnikach będących potęgami kolejnych wartości własnych.

Własności

Macierze symetryczne i hermitowskie są zawsze diagonalizowalne. Ogólniej, macierze normalne są diagonalizowalne unitarnie - tzn. możemy żądać, by macierz przejścia była unitarna.

Jeśli dla pewnej macierzy $A$ mamy rozkład diagonalny

$A=P \Delta P^{-1} \!$

wówczas:

• macierze $A$ i $\Delta$ są podobne,
• iloczyn wszystkich wartości własnych macierzy $A$ jest równy jej wyznacznikowi,
• jeśli $A$ jest macierzą symetryczną to $P$ jest macierzą ortogonalną,
• jeśli $A$ jest macierzą hermitowską to $P$ jest macierzą unitarną, a wartości własne są rzeczywiste,
• jeśli $A$ jest macierzą dodatnio określoną, wartości własne są nieujemne.

Diagonalizacja Jacobiego

Załóżmy, że $(V, \xi)$ jest przestrzenią ortogonalną oraz $(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)$ jest bazą $V\;$ taką, że dla każdego $1\leqslant k\leqslant n-1$ zachodzi $g(\alpha_1, \ldots, \alpha_k)\neq 0$ (wyznacznik Grama). Wtedy istnieje baza prostopadła $(\beta_1, \ldots, \beta_n)$ przestrzeni $V\;$, w której $\xi\;$ ma macierz:

$\left[\begin{array}{c c c c c c} \Delta_1 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \frac{\Delta_2}{\Delta_1} & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\Delta_3}{\Delta_2} & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{\Delta_{n-1}}{\Delta_{n-2}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{\Delta_{n}}{\Delta_{n-1}} \\\end{array}\right]$, gdzie $\Delta_k=g(\alpha_1, \ldots, \alpha_k)$ dla $k\in\{1,\ldots, n\}$

Zobacz też

• postać Jordana