Skończenie generowana grupa przemienna

Skończenie generowana grupa przemienna – w algebrze abstrakcyjnej grupa przemienna (abelowa), której zbiór generatorów jest skończony. W szczególności, każda skończona grupa abelowa jest skończenie generowana.

Skończenie generowane grupy mają prostą strukturę i mogą być całkowicie sklasyfikowane, jak wyjaśniono niżej.

Definicja

Niech $(G, +)$ będzie przemienna. Grupę tę nazywa się skończenie generowaną, jeżeli istnieje skończenie wiele takich elementów $x_1, \ldots, x_s \in G$, że każdy $x \in G$ może być zapisany jako

$x = n_1 x_1 + n_2 x_2 + \ldots n_s x_s$,

gdzie $n_1, \ldots, n_s$ są całkowite. Wtedy mówi się, że zbiór $\{x_1, \ldots, x_s\}$ jest zbiorem generującym (generatorów) $G$ lub że $x_1, \ldots, x_s$ generują $G$.

Przykłady

• Liczby całkowite $(\mathbb Z, +)$ są skończenie generowaną grupą abelową,
• liczby całkowite modulo n $\mathbb Z_n$ są skończenie generowanymi grupami przemiennymi,
• dowolna suma prosta skończenie wielu skończenie generowanych grup przemiennych także jest skończenie generowaną grupą przemienną

Powyższa lista wyczerpuje przykłady podgrup skończenie generowanych.

• Grupa $(\mathbb Q, +)$ liczb wymiernych nie jest skończenie generowana: niech $x_1, \ldots, x_s$ będą liczbami wymiernymi, a $w$ liczbą naturalną względnie pierwszą z mianownikami liczb $x_1, \ldots, x_s$, wtedy przedstawienie elementu $\tfrac{1}{w}$ za pomocą $x_1, \ldots, x_s$ okazuje się niemożliwe.

Klasyfikacja

Twierdzenie o klasyfikacji skończenie generowanych grup abelowych (Frobenius i Stickelberger, 1878), będące szczególnym przypadkiem twierdzenia strukturalnego dla skończenie generowanych modułów nad dziedziną ideałów głównych (twierdzenia Frobeniusa o równoważności macierzy nad pierścieniem liczb całkowitych), może być wyrażone na dwa niżej wymienione sposoby (podobnie jak dla d.i.g.). Jego szczególnym przypadkiem jest twierdzenie o klasyfikacji skończonych grup przemiennych. Wynik ten ma zastosowanie praktyczne w informatyce: obliczenia w poszczególnych grupach rozkładu mogą być wykonywane równolegle (tzn. niezależnie od siebie).

Rozkład na czynniki pierwsze

Sformułowanie rozkładu na czynniki pierwsze mówi, że każda skończenie generowana grupa abelowa $G$ jest izomorficzna z sumą prostą cyklicznych grup o rzędach będącymi potęgami liczb pierwszych oraz nieskończonych grup cyklicznych. To jest, każda taka grupa jest izomorficzna z grupą postaci

$\mathbb Z^n \oplus \mathbb Z_{q_1} \oplus \ldots \oplus \mathbb Z_{q_t}$,

gdzie $n \geqslant 0$, a liczby $q_1, \ldots, q_t$ są (niekoniecznie różnymi) potęgami liczb pierwszych. W szczególności $G$ jest skończona wtedy i tylko wtedy, gdy $n = 0$. Wartości $n, q_1, \ldots, q_t$ są wyznaczone jednoznacznie (co do porządku) przez $G$.

Rozkład na czynniki niezmiennicze

Dowolna skończenie generowana grupa przemienna $G$ może być zapisana także jako iloczyn prosty postaci

$\mathbb Z^n \oplus \mathbb Z_{k_1} \oplus \ldots \oplus \mathbb Z_{k_u}$,

gdzie $k_1$ dzieli $k_2$, które dzieli $k_3$ i tak dalej, aż do $k_u$. Znowu, liczby $n, k_1, \ldots, k_u$ są jednoznacznie wyznaczone przez $G$ (tutaj wraz z jednoznacznym porządkiem) i są nazywane czynnikami niezmienniczymi, tzn. dwie skończenie generowane grupy abelowe są izomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy mają jednakowe ciągi czynników niezmienniczych; liczba $n$ jest równa randze grupy abelowej.

Równoważność

Powyższe stwierdzenia są równoważne na mocy chińskiego twierdzenia o resztach, które mówi w tym wypadku, że $\mathbb Z_m$ jest izomorficzna z iloczynem prostym $\mathbb Z_j$ przez $\mathbb Z_k$ wtedy i tylko wtedy, gdy $j$ oraz $k$ są względnie pierwsze i $m = jk$.

Wnioski

Wyrażone inaczej twierdzenie o klasyfikacji mówi, że skończenie generowana grupa przemienna jest sumą prostą grupy abelowej wolnej skończonej rangi i skończonej grupy przemiennej, z których każda jest wyznaczona jednoznacznie co do izomorfizmu. Skończona grupa abelowa jest podgrupą torsyjną $G$. Ranga $G$ jest określona jako ranga beztorsyjnej części $G$; tzn. jest to liczba $n$ w powyższych wzorach.

Wnioskiem płynącym z twierdzenia o klasyfikacji jest, że każda skończenie generowana beztorsyjna grupa przemienna jest wolną grupą abelową. Warunek skończonego generowania jest tu kluczowy: $\mathbb Q$ jest beztorsyjna, ale nie jest wolna grupą abelową.

Każda podgrupa i grupa ilorazowa skończenie generowanej grupy abelowej jest znowu skończenie generowaną grupą abelową. Skończenie generowane grupy przemienne, wraz z homomorfizmami grupowymi stanowią kategorię przemienną, będącą podkategorią Serre'a kategorii grup abelowych.

Nieskończenie generowane grupy przemienne

Należy mieć na uwadze, że nie każda grupa przemienna skończonej rangi jest skończenie generowana; grupa pierwszej rangi $\mathbb Q$ jest jednym z przykładów, kolejnym jest grupa rangi zerowej będąca sumą prostą przeliczalnie wielu egzemplarzy $\mathbb Z_2$.

Zobacz też

• twierdzenie Jordana-Höldera jako uogólnienie na grupy nieprzemienne.