Skończenie generowana grupa przemienna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Skończenie generowana grupa przemienna – w algebrze abstrakcyjnej grupa przemienna (abelowa), której zbiór generatorów jest skończony. W szczególności, każda skończona grupa abelowa jest skończenie generowana.

Skończenie generowane grupy mają prostą strukturę i mogą być całkowicie sklasyfikowane, jak wyjaśniono niżej.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech (G, +) będzie przemienna. Grupę tę nazywa się skończenie generowaną, jeżeli istnieje skończenie wiele takich elementów x_1, \ldots, x_s \in G, że każdy x \in G może być zapisany jako

x = n_1 x_1 + n_2 x_2 + \ldots n_s x_s,

gdzie n_1, \ldots, n_scałkowite. Wtedy mówi się, że zbiór \{x_1, \ldots, x_s\} jest zbiorem generującym (generatorów) G lub że x_1, \ldots, x_s generują G.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Liczby całkowite (\mathbb Z, +) są skończenie generowaną grupą abelową,
  • liczby całkowite modulo n \mathbb Z_n są skończenie generowanymi grupami przemiennymi,
  • dowolna suma prosta skończenie wielu skończenie generowanych grup przemiennych także jest skończenie generowaną grupą przemienną

Powyższa lista wyczerpuje przykłady podgrup skończenie generowanych.

Klasyfikacja[edytuj | edytuj kod]

Twierdzenie o klasyfikacji skończenie generowanych grup abelowych (Frobenius i Stickelberger, 1878), będące szczególnym przypadkiem twierdzenia strukturalnego dla skończenie generowanych modułów nad dziedziną ideałów głównych (twierdzenia Frobeniusa o równoważności macierzy nad pierścieniem liczb całkowitych)[1], może być wyrażone na dwa niżej wymienione sposoby (podobnie jak dla d.i.g.). Jego szczególnym przypadkiem jest twierdzenie o klasyfikacji skończonych grup przemiennych. Wynik ten ma zastosowanie praktyczne w informatyce: obliczenia w poszczególnych grupach rozkładu mogą być wykonywane równolegle (tzn. niezależnie od siebie).

Rozkład na czynniki pierwsze[edytuj | edytuj kod]

Sformułowanie rozkładu na czynniki pierwsze mówi, że każda skończenie generowana grupa abelowa G jest izomorficzna z sumą prostą cyklicznych grup o rzędach będącymi potęgami liczb pierwszych oraz nieskończonych grup cyklicznych. To jest, każda taka grupa jest izomorficzna z grupą postaci

\mathbb Z^n \oplus \mathbb Z_{q_1} \oplus \ldots \oplus \mathbb Z_{q_t},

gdzie n \geqslant 0, a liczby q_1, \ldots, q_t są (niekoniecznie różnymi) potęgami liczb pierwszych. W szczególności G jest skończona wtedy i tylko wtedy, gdy n = 0. Wartości n, q_1, \ldots, q_t są wyznaczone jednoznacznie (co do porządku) przez G.

Rozkład na czynniki niezmiennicze[edytuj | edytuj kod]

Dowolna skończenie generowana grupa przemienna G może być zapisana także jako iloczyn prosty postaci

\mathbb Z^n \oplus \mathbb Z_{k_1} \oplus \ldots \oplus \mathbb Z_{k_u},

gdzie k_1 dzieli k_2, które dzieli k_3 i tak dalej, aż do k_u. Znowu, liczby n, k_1, \ldots, k_u są jednoznacznie wyznaczone przez G (tutaj wraz z jednoznacznym porządkiem) i są nazywane czynnikami niezmienniczymi, tzn. dwie skończenie generowane grupy abelowe są izomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy mają jednakowe ciągi czynników niezmienniczych; liczba n jest równa randze grupy abelowej.

Równoważność[edytuj | edytuj kod]

Powyższe stwierdzenia są równoważne na mocy chińskiego twierdzenia o resztach, które mówi w tym wypadku, że \mathbb Z_m jest izomorficzna z iloczynem prostym \mathbb Z_j przez \mathbb Z_k wtedy i tylko wtedy, gdy j oraz kwzględnie pierwsze i m = jk.

Wnioski[edytuj | edytuj kod]

Wyrażone inaczej twierdzenie o klasyfikacji mówi, że skończenie generowana grupa przemienna jest sumą prostą grupy abelowej wolnej skończonej rangi i skończonej grupy przemiennej, z których każda jest wyznaczona jednoznacznie co do izomorfizmu. Skończona grupa abelowa jest podgrupą torsyjną G. Ranga G jest określona jako ranga beztorsyjnej części G; tzn. jest to liczba n w powyższych wzorach.

Wnioskiem płynącym z twierdzenia o klasyfikacji jest, że każda skończenie generowana beztorsyjna grupa przemienna jest wolną grupą abelową. Warunek skończonego generowania jest tu kluczowy: \mathbb Q jest beztorsyjna, ale nie jest wolna grupą abelową.

Każda podgrupa i grupa ilorazowa skończenie generowanej grupy abelowej jest znowu skończenie generowaną grupą abelową. Skończenie generowane grupy przemienne, wraz z homomorfizmami grupowymi stanowią kategorię przemienną, będącą podkategorią Serre'a kategorii grup abelowych.

Nieskończenie generowane grupy przemienne[edytuj | edytuj kod]

Należy mieć na uwadze, że nie każda grupa przemienna skończonej rangi jest skończenie generowana; grupa pierwszej rangi \mathbb Q jest jednym z przykładów, kolejnym jest grupa rangi zerowej będąca sumą prostą przeliczalnie wielu egzemplarzy \mathbb Z_2.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. L. Fuchs, Infinite abelian groups, Academic Press 1970, tw. III.15.2