Twierdzenie Lebesgue'a o zbieżności monotonicznej

Henri Lebesgue

Twierdzenie Lebesgue'a o zbieżności monotonicznej – twierdzenie w analizie i teorii miary stwierdzające, że granica monotonicznie zbieżnego ciągu nieujemnych funkcji mierzalnych jest mierzalna. Jeśli dodatkowo funkcje w ciągu są całkowalne i zbiór wartości całek jest ograniczony, to funkcja graniczna też jest całkowalna i jej całka jest granicą całek z wyjściowych funkcji.

Nazwa twierdzenia została wprowadzona dla uhonorowania francuskiego matematyka Henri Lebesgue'a.

Twierdzenie

Załóżmy że:

(a) $(X,\mathcal{F},\mu)$ jest przestrzenią mierzalną z miarą,

(b) $f_n:X\longrightarrow {\mathbb R}$ (dla $n\in {\mathbb N}$) jest funkcją mierzalną,

(c) $0\leqslant f_1(x)\leqslant f_2(x)\leqslant f_3(x)\leqslant\ldots$ dla każdego $x\in X$,

(d) dla wszystkich $x\in X$ istnieje granica $\lim\limits_{n \to \infty} f_n(x)$; niech funkcja $f:X\longrightarrow {\mathbb R}$ będzie zdefiniowana przez

$f(x)=\lim\limits_{n \to \infty} f_n(x)$ dla $x\in X$.

Wówczas funkcja f jest mierzalna. Jeśli dodatkowo

(e) każda z funkcji $f_n$ jest całkowalna i zbiór $\left\{\int f_n\ d\mu:n\in {\mathbb N}\right\}$ jest ograniczony z góry,

to funkcja f jest całkowalna oraz $\int f\ d\mu=\lim\limits_{n \to \infty} \int f_n\ d\mu$.

Powyższe twierdzenie często formułuje się tak, że w (c) i (d) jest wymagana zbieżność prawie wszędzie a nie dla każdego $x$.

Szkic dowodu

Mierzalność funkcji granicznej jest zwykle dowodzona osobno i nie będziemy tu tego komentować. Załóżmy więc, że są spełnione warunki (a)-(e). Jak wspomnieliśmy, f jest mierzalna. Ponieważ ciąg $\left(\int f_n d\mu\right)_{n\in {\mathbb N}}$ jest monotonicznie rosnący i ograniczony z góry (na mocy założeń (c) i (e)), więc jest on zbieżny. Niech $C=\lim\limits_{n \to \infty} \int f_n\ d\mu$.

Przypuśćmy, że $h:X\longrightarrow {\mathbb R}$ jest całkowalną funkcją prostą taką, że $0\leqslant h\leqslant f$. Ustalmy na jakiś czas liczbę $\alpha\in (0,1)$. Dla liczby naturalnej $n\in {\mathbb N}$ połóżmy

$A_n=\{x\in X: \alpha\cdot h(x)\leqslant f_n(x)\}$.

Oczywiście, $A_n\in {\mathcal F}$ (jako że zarówno $f_n$ jak i $h$ są mierzalne) oraz $A_n\subseteq A_{n+1}$ (używamy tu założenia (c)). Ponieważ $\alpha\cdot h(x)<f(x)$ ilekroć $f(x)>0$, to używając założenia (d) widzimy, że $X=\bigcup\limits_{n=1}^\infty A_n$. Zauważmy, że

(i)  $\alpha\cdot\int\limits_{A_n} h\ d\mu\leqslant \int\limits_{A_n} f_n\ d\mu\leqslant \int f_n\ d\mu$.

Następnie, pamiętając że h jest funkcją prostą, sprawdza się że

(ii)  $\lim\limits_{n\to\infty}\int\limits_{A_n} h\ d\mu=\int\limits_{\bigcup_{n=1}^\infty A_n} h\ d\mu=\int h\ d\mu$.

Przechodząc z n do granicy w (i) i używając (ii) otrzymujemy

$\alpha\cdot\int h\ d\mu\leqslant C$.

Ponieważ powyższa nierówność zachodzi dla każdej liczby $\alpha\in (0,1)$, to otrzymujemy iż $\int h\ d\mu\leqslant C=\lim\limits_{n \to \infty} \int f_n\ d\mu$.

Tak więc wykazaliśmy, że dla każdej funkcji prostej h spełniającej nierówności $0\leqslant h\leqslant f$ mamy że $\int h\ d\mu\leqslant C$, a więc funkcja f jest całkowalna oraz $\int f\ d\mu\leqslant C$. (Czytelnik może zechcieć skonsultować ten wniosek z definicją funkcji całkowalnych w sensie Lebesgue'a.) Ponieważ jednocześnie $\int f_n\ d\mu\leqslant \int f\ d\mu$ (jako że $f_n\leqslant f$), to mamy też

$\int f\ d\mu= C=\lim\limits_{n \to \infty} \int f_n\ d\mu$.

Zastosowania

• Twierdzenie o zbieżności monotonicznej jest używane w niektórych dowodach lematu Fatou.
• Jest ono również używane (przy odpowiednich założeniach o funkcjach $f_1,f_2,\ldots$) do całkowań nieujemnych szeregów funkcyjnych:

$\sum_n \int f_n\;d\mu=\int\;\sum_n f_n\;d\mu$

Zobacz też

• całka Lebesgue'a
• funkcja całkowalna
• twierdzenie Lebesgue'a o zbieżności ograniczonej
• lemat Fatou
• twierdzenie Fubiniego