Twierdzenie o zbieżności ciągu monotonicznego

Twierdzenie o zbieżności ciągu monotonicznego – twierdzenie w analizie matematycznej, ustanawiające warunek konieczny i wystarczający na to, by monotoniczny ciąg liczbowy był zbieżny.

Wypowiedź twierdzenia

Niech $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ będzie monotonicznym ciągiem liczb rzeczywistych. Wtedy ciąg ten ma (skończoną) granicę wtedy i tylko wtedy, gdy jest ograniczony.

Dowód

Załóżmy, że ciąg $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ jest niemalejący oraz ograniczony. Zbiór $\{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ jest niepusty i ograniczony z góry, więc na mocy aksjomatu ciągłości ma kres górny, niech $c=\sup _{n}\{a_{n}\}.$ Dla każdego $\varepsilon >0,$ istnieje takie naturalne $N,$ że $a_{N}>c-\varepsilon ,$ jako że w przeciwnym wypadku $c-\varepsilon$ byłoby ograniczeniem górnym $\{a_{n}\},$ mniejszym od $\sup _{n}\{a_{n}\},$ co przeczy definicji $c,$ jako najmniejszego ograniczenia górnego. Skoro $(a_{n})$ jest niemalejący, to

$\forall n>N,|c-a_{n}|=c-a_{n}\leqslant c-a_{N}<\varepsilon ,$

co oznacza, że ciąg $(a_{n})$ jest zbieżny i jego granicą jest $\sup _{n}\{a_{n}\}.$

Implikacja w drugą stronę wynika z faktu, że każdy ciąg zbieżny jest ograniczony.

Dowód dla ciągu nierosnącego jest analogiczny – wykorzystuje własność mówiącą, że niepusty i ograniczony z dołu zbiór liczb rzeczywistych ma infimum

Zobacz też

• ciąg
• granica ciągu i granica funkcji
• zbieżność monotoniczna

Bibliografia

• Tadeusz Krasiński: Analiza matematyczna. Funkcje jednej zmiennej. Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego, 2003. ISBN 83-7171-636-2.brak strony w książce
• Walter Rudin: Podstawy analizy matematycznej. Wydawnictwo Naukowe PWN, 1982, s. 50. ISBN 83-01-02846-7.