Funkcja prosta

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Funkcja prosta – w teorii miary funkcja przymująca skończenie wiele wartości.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech \mathfrak M_X będzie σ-ciałem pewnego zbioru X oraz A \subseteq X. Funkcję f: A \to \mathbb R nazywamy funkcją prostą, jeżeli f jest nieujemną funkcją mierzalną, przyjmującą skończoną liczbę wartości należących do przedziału [0,\; \infty).

Szczególnym przypadkiem funkcji prostej jest funkcja charakterystyczna zbioru.

Twierdzenie (postać funkcji prostej)[edytuj | edytuj kod]

Niech A \in \mathfrak M_X. Dla dowolnej funkcji prostej f: A \to[0,\; +\infty) istnieje n \in \mathbb N oraz nieujemne liczby a_1,\; \dots,\; a_n i zbiory A \supseteq B_1,\; \dots,\; B_n \in \mathfrak M_X takie, że

f = \sum_{i=1}^n~a_i\chi_{B_i}, gdzie \chi_{B_i} jest funkcją charakterystyczną zbioru B_i.

Można dodatkowo żądać, żeby liczby a_1,\; \dots,\; a_n były różne między sobą, a zbiory B_1,\; \dots,\; B_n były parami rozłączne, zaś suma zbiorów B_i dawała cały zbiór A, co uprości nieco dowód.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]