Zastosowanie liczb zespolonych w analizie obwodów elektrycznych

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Zastosowanie liczb zespolonych - umożliwia uproszczoną analizę obwodów elektrycznych prądu przemiennego. Możliwe jest to dzięki algebralizacji równań różniczkowo-całkowych poprzez odwzorowanie przebiegów prądu i napięcia w postaci funkcji symbolicznej. Stwarza to możliwość analizy obwodu prądu przemiennego z wykorzystaniem metod używanych podczas analizy obwodów prądu stałego, a więc metody potencjałów węzłowych, metody prądów oczkowych, twierdzenia Thevenina-Nortona itd.

Liczby zespolone mogą być wykorzystywane tylko do analizy obwodów liniowych, w których wszystkie źródła energii dostarczają sinusoidalnych prądów i napięć o tej samej częstotliwości. Innymi słowy, liczby zespolone nie mogą być wykorzystane do analizy przebiegów odkształconych.

Wersor rotacyjny[edytuj | edytuj kod]

Funkcja symboliczna budowana jest przy użyciu wersora rotacyjnego e^{j\omega t} oraz sprzężonego z nim wersora e^{-j\omega t}. Moduł tego wersora równy jest jeden, zaś argument zależny jest od czasu. Obrazem wersora na płaszczyźnie liczb zespolonych jest wektor jednostkowy obracający się z prędkością kątową ω w kierunku matematycznie dodatnim, zaś w przypadku wersora sprzężonego - w kierunku matematycznie ujemnym.

Uwaga: W inżynierii elektrycznej jednostka urojona często oznaczana jest literą j zamiast rozpowszechnionej i, by uniknąć pomyłki z wartością chwilową natężenia prądu zmiennego, również oznaczaną przez małą literę i.

Funkcja symboliczna[edytuj | edytuj kod]

Funkcja symboliczna wyrażana jest jako iloczyn liczby zespolonej A_{m}=|A_{m}|e^{j\alpha} oraz opisanego powyżej wersora rotacyjnego. Można to zapisać jako:

A(t)=|A_{m}|e^{j(\omega t + \alpha)}

Obrazem funkcji symbolicznej na płaszczyźnie liczb zespolonych jest wektor o długości |A_{m}| i kącie początkowym α, obracający się z prędkością kątową ω w kierunku matematycznie dodatnim.

Uproszczenie analizy obwodów elektrycznych prądu przemiennego, możliwe jest właśnie ze względu na wyjątkowe właściwości funkcji symbolicznej. Pochodna funkcji symbolicznej wyprzedza ją o kąt 90° a jej całka opóźnia się o kąt 90°. Operacje te więc można uprościć zastępując - niezbędne przy analizie obwodów prądu przemiennego - całkowanie na dzielenie poprzez czynnik j\omega a różniczkowanie na mnożenie przez czynnik j\omega.

Odwzorowanie przebiegów prądu i napięcia w postaci funkcji symbolicznej[edytuj | edytuj kod]

W łatwy sposób można uzasadnić słuszność odwzorowywania przebiegów prądu i napięcia pod postacią funkcji symbolicznej. Dla przykładowego przebiegu sinusoidalnego prądu na odbiorniku danego wzorem: i=|I_{m}|\sin(\omega t + \alpha) zbudować można funkcję symboliczną I(t)=|I_{m}|e^{j(\omega t + \alpha)}. Jeżeli funkcję symboliczną I(t) oraz funkcję do niej sprzężoną przedstawi się w postaci trygonometrycznej: I(t)=|I_{m}|e^{j(\omega t + \alpha)}=|I_{m}|[\cos(\omega t + \alpha)+j\sin(\omega t + \alpha)] oraz I^{*}(t)=|I_{m}|e^{-j(\omega t + \alpha)}=|I_{m}|[\cos(\omega t + \alpha)-j\sin(\omega t + \alpha)] to po dodatkowych przekształceniach zauważyć można związek: \frac{I(t)-I^{*}(t)}{2j}=|I_{m}|\sin(\omega t + \alpha)=iPonieważ w własności liczb zespolonych wynika, że \frac{Z-Z^{*}}{2j}=\frac{a+jb-(a-jb)}{2j}=\frac{2jb}{2j}=b=\operatorname{Im}\{ Z \}stąd:

i=\operatorname{Im}\{ I(t) \}

I dla napięcia analogicznie:

u=\operatorname{Im}\{ U(t) \}

Dodatkowym atutem takiego przyporządkowania jest fakt, że nie tylko możliwe jest odwzorowanie przebiegu prądu lub napięcia poprzez funkcję symboliczną, ale także odtworzenie przebiegu sinusoidalnego z funkcji symbolicznej.

Zespolone wartości skuteczne[edytuj | edytuj kod]

W powyższych wzorach przykładowy przebieg i=|I_{m}|\sin(\omega t + \alpha) zawierał czynnik I_{m}, który odpowiadał zespolonej wartości maksymalnej. Aby przejść z odwzorowania przebiegów sinusoidalnych promieniami wirującymi na odwzorowanie funkcji symbolicznych nieruchomymi wektorami (zatrzymanymi w chwili t=0) wprowadza się zespolone wartości skuteczne oznaczane poprzez U oraz I, gdzie:

I=\frac{I_{m}}{\sqrt 2}

U=\frac{U_{m}}{\sqrt 2}

To właśnie wartości skuteczne zespolone używane są w ostatecznych obliczeniach z wykorzystaniem metod używanych podczas analizy obwodów prądu stałego - nawet ich oznaczenia sugerują brak powiązania obliczeń z dziedziną czasu.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]