Dodawanie Minkowskiego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Dodawanie Minkowskiegodziałanie określone na rodzinie wszystkich podzbiorów danej przestrzeni liniowej wzorem

Powyższa definicja ma sens dla dowolnego zbioru z określonym działaniem (np. może być grupą), jednakże najczęściej jest ono rozpatrywane w kontekście przestrzeni liniowych. Jeżeli jest dowolnym elementem przestrzeni oraz jest jej podzbiorem, to stosuje się notację

.

Własności[edytuj]

Dodawanie Minkowskiego jest łączne, przemienne i rozdzielne względem sumy zbiorów, tzn.

dla dowolnych podzbiorów i przestrzeni liniowej . Zbiór jest elementem neutralnym dodawania Minkowskiego.

Suma dwóch zbiorów zwartych w przestrzeni liniowo-topologicznej jest zbiorem zwartym. Jeżeli jest metryzowalną przestrzenią liniowo-topologiczną, to dodawanie Minkowskiego jest ciągłe względem metryki Hausdorffa w rodzinie zwartych podzbiorów . Suma Minkowskiego dwóch zbiorów wypukłych jest wypukła. Zachodzi następująca nierówność dotycząca mocy sumy Minkowskiego:

.

Nierówność Brunna–Minkowskiego[edytuj]

Jeżeli oznacza miarę Lebesgue'a w przestrzeni oraz i zbiorami wypukłymi w , to

Powyższa nierówność nazywana jest nierównością Brunna–Minkowskiego. Nierówność ta jest górnym ograniczeniem objętości sumy dwóch zbiorów mierzalnych w przestrzeni euklidesowej:

Przykład[edytuj]

Rys. 3
Rys. 1
Rys. 2

Dla podzbiorów płaszczyzny i , to ich sumą Minkowskiego jest zbiór

Jeżeli i trójkątami równoramiennymi (które są wypukłe), to ich sumą Minkowskiego jest sześciokąt wypukły, o którym można powiedzieć, iż powstał z przesuwania wzdłuż krawędzi , jak na rys. 3-4.