Modularność

Modularność – własność obiektów algebraicznych pierwotnie zaobserwowana w teorii grup przez Richarda Dedekinda, stąd znana też jako prawo modularności Dedekinda^[a], a następnie przeniesiona na grunt teorii pierścieni i teorii modułów^[1]. Naturalnym kontekstem okazała się jednak teoria krat – kraty spełniające tę własność nazwano kratami modularnymi.

Grupy, pierścienie i moduły[edytuj | edytuj kod]

Osobny artykuł: krata podgrup.

Dla dowolnych podgrup $A,B,C$ danej grupy, dla których $A\leqslant C$ ( $A$ jest podgrupą $C$ ), zachodzi własność modularności

AB\cap C=A(B\cap C),

gdzie mnożenie (oznaczone przez zestawienie) oznacza iloczyn kompleksowy; w notacji addytywnej z kolei własność tam ma postać

(A+B)\cap C=A+(B\cap C),

przy czym dodawanie $A+B$ oznacza grupę generowaną przez $A\cup B.$

W tej postaci jest ona prawdziwa dla pierścieni, czy modułów, gdy $A,B,C$ oznaczają ideały danego pierścienia lub podmoduły ustalonego modułu (przy założeniu $A$ jest ideałem/podmodułem $C;$ $A+B$ oznacza ideał/moduł generowany przez $A\cup B$ )^[b]^[c]. Wszystko co dotyczy modułów przenosi się bez zmian na przestrzenie liniowe.

Kraty[edytuj | edytuj kod]

Dla krat własność tę można przedstawić w postaci tożsamości: dla dowolnych elementów $a,b,c$ zachodzi

((a\wedge c)\vee b)\wedge c=(a\wedge c)\vee (b\wedge c).

Można ją wyrazić w słabszej postaci jednego z aksjomatów rozdzielności: dla elementów $a,b,c,$ przy czym $a\leqslant c,$ zachodzi

(a\vee b)\wedge c=(a\wedge c)\vee (b\wedge c)=a\vee (b\wedge c).

Sformułowania są równoważne, gdyż $a\leqslant c$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a\wedge c=a.$ Jest to w istocie postać opisana w poprzedniej sekcji dla struktur algebraicznych.

Ponieważ w dowolnej kracie prawdziwa jest nierówność

((a\wedge c)\vee b)\wedge c\geqslant (a\wedge c)\vee (b\wedge c),

jako że tak $(a\wedge c)\vee b,$ jak i $c$ są większe lub równe od $a\wedge c$ oraz $b\wedge c,$ to prawo modularności jest równoważne

((a\wedge c)\vee b)\wedge c\leqslant (a\wedge c)\vee (b\wedge c).

Kraty rozdzielna, projektywna, czy metryczna są kratami modularnymi.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Wśród przykładów krat modularnych można wymienić kraty podgrup normalnych (permutowalnych/quasi-normalnych)^[d] danej grupy, krata podprzestrzeni danej przestrzeni liniowej (podprzestrzeni danej przestrzeni rzutowej), krata ideałów danego pierścienia, czy krata podmodułów danego modułu. We wszystkich tych przypadkach porządkiem częściowym w tych kratach jest zawieranie. Kres dolny to część wspólna zbiorów, zatem kres dolny dowolnej liczby elementów zawsze istnieje; kres górny dowolnego zbioru $X$ elementów definiuje się jako $\bigvee X=\bigcap \ \{y\colon x\subseteq y\ \mathrm {dla\,wszystkich} \ x\in X\}.$ W języku algebraicznym kres dolny to podgrupa, podprzestrzeń, ideał lub podmoduł generowane przez wszystkie elementy należące do sumy $\bigcup X.$

Niech $G$ będzie grupą, a $H$ oraz $K$ jej dwiema podgrupami zawartymi jedna w drugiej, dla których $H\leqslant K\leqslant G.$ Jeżeli $N$ jest podgrupą normalną w $G,$ to $NH=KN$ oraz $H\cap N=K\cap N,$ pociągają $H=K.$ Z prawa modularności wynika bowiem $H=H(H\cap N)=H(K\cap N)=K\cap NH=K\cap KN=K;$ założenie normalności $N$ jest niezbędne w celu zagwarantowania, że $NH=KN$ ma strukturę grupy (jako iloczyny półproste).

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

↑ Kronecker „modułami” nazywał podgrupy grup abelowych; zob. moduł: Motywacja.
↑ W notacji addytywnej (grupy przemienne, pierścienie lub moduły): niech $(A+B)\cap C=A+(B\cap C);$ ponieważ $A\subseteq A+(B\cap C)=(A+B)\cap C\subseteq C,$ to $A\subseteq C.$
Odwrotnie: niech $A\subseteq C.$ Jeśli $x\in (A+B)\cap C,$ to $x\in C$ i istnieją takie $b\in B,a\in A,$ że $x=a+b.$ Wówczas $b\in B$ oraz $b=-a+x\in A+C=C$ (ponieważ $A\subseteq C$ ), więc $b\in (B\cap C).$ Stąd $x=a+b\in A+(B\cap C),$ a zatem $(A+B)\cap C\subseteq A+(B\cap C).$ Zawieranie przeciwne: jeśli $x\in A+(B\cap C),$ to istnieją wtedy takie $y\in B\cap C$ oraz $a\in A,$ że $x=a+y.$ Wtedy $x\in C,$ ponieważ $y\in C,a\in A\subseteq C,$ a więc $a+y\in C.$ Skoro zaś $y\in B,a\in A,$ to $x=a+y\in A+B.$ Dlatego $x\in (A+B)\cap C,$ co dowodzi $A+(B\cap C)\subseteq (A+B)\cap C.$
↑ O konieczności założenia $A\leqslant C$ przekonuje następujący przykład: niech $D=2\mathbb {Z} \leqslant \mathbb {Z}$ oraz $A=4\mathbb {Z} ,B=10\mathbb {Z} ,C=6\mathbb {Z} ,$ wtedy $(A+B)\cap C=D\cap C=C$ oraz $A+(B\cap C)=A+30\mathbb {Z} =D,$ przy czym $C\neq D.$
↑ Dowolna podgrupa grupy przemiennej (abelowej) jest normalna.

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

↑ Niem. Über die Theorie der ganzen algebraischen Zahlen (1864), fr. Sur la théorie des nombres entiers algébriques (1877), „O teorii algebraicznych liczb całkowitych” Dedekinda.

[1] Kronecker „modułami” nazywał podgrupy grup abelowych; zob. moduł: Motywacja.

[3] W notacji addytywnej (grupy przemienne, pierścienie lub moduły): niech $(A+B)\cap C=A+(B\cap C);$ ponieważ $A\subseteq A+(B\cap C)=(A+B)\cap C\subseteq C,$ to $A\subseteq C.$
Odwrotnie: niech $A\subseteq C.$ Jeśli $x\in (A+B)\cap C,$ to $x\in C$ i istnieją takie $b\in B,a\in A,$ że $x=a+b.$ Wówczas $b\in B$ oraz $b=-a+x\in A+C=C$ (ponieważ $A\subseteq C$ ), więc $b\in (B\cap C).$ Stąd $x=a+b\in A+(B\cap C),$ a zatem $(A+B)\cap C\subseteq A+(B\cap C).$ Zawieranie przeciwne: jeśli $x\in A+(B\cap C),$ to istnieją wtedy takie $y\in B\cap C$ oraz $a\in A,$ że $x=a+y.$ Wtedy $x\in C,$ ponieważ $y\in C,a\in A\subseteq C,$ a więc $a+y\in C.$ Skoro zaś $y\in B,a\in A,$ to $x=a+y\in A+B.$ Dlatego $x\in (A+B)\cap C,$ co dowodzi $A+(B\cap C)\subseteq (A+B)\cap C.$

[4] O konieczności założenia $A\leqslant C$ przekonuje następujący przykład: niech $D=2\mathbb {Z} \leqslant \mathbb {Z}$ oraz $A=4\mathbb {Z} ,B=10\mathbb {Z} ,C=6\mathbb {Z} ,$ wtedy $(A+B)\cap C=D\cap C=C$ oraz $A+(B\cap C)=A+30\mathbb {Z} =D,$ przy czym $C\neq D.$

[5] Dowolna podgrupa grupy przemiennej (abelowej) jest normalna.

[2] Niem. Über die Theorie der ganzen algebraischen Zahlen (1864), fr. Sur la théorie des nombres entiers algébriques (1877), „O teorii algebraicznych liczb całkowitych” Dedekinda.

[a]

[1]

[b]

[c]

[d]