Transformata Gelfanda

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Transformata Gelfanda - dla danej przemiennej algebry Banacha A przyporządkowanie

dane wzorem

,

gdzie jest elementem zbioru , tj. należy do zbioru wszystkich niezerowych homomorfizmów algebry A o wartościach w ciele liczb zespolonych[1]. W zbiorze wprowadza się najsłabszą topologię względem, której wszystkie jego elementy są funkcjami ciągłymi (tzw. topologię Gelfanda; zbiór z topologią Gelfanda nazywany jest przestrzenią Gelfanda algebry A). Przestrzeń Gelfanda jest zawsze lokalnie zwartą przestrzenią Hausdorffa, przy czym jest ona zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy algebra A ma jedynkę[2]. Otoczenia bazowe danego punktu z przestrzeni Gelfanda są postaci

,

gdzie F jest skończonym podzbiorem A. Zbiór

nazywany jest radykałem Gelfanda algebry A. Radykał Gelfanda zawiera radykał Jacobsona algebry A oraz dowolny jej komutator, tj. element postaci ab - ba, gdzie a i b są elementami algebry A.

Transformata Gelfanda

jest ciągłym homomorfizmem algebr o wartościach w C*-algebrze wszystkich funkcji ciągłych na przestrzeni Gelfanda danej algebry.

Przypisy

  1. Zbiór ten jest kanonicznie tożsamy zbiorowi ideałów maksymalnych tej algebry. Każdemu homomorfizmowi wystarczy przyporządkować jego jądro.Гамелин Т. (Gamelin T.): Равномерные алгебры. Москва: Мир, 1973, s. 13-14. (ros.)
  2. Przestrzenie Gelfanda pewnych funkcyjnych algebr Banacha są homeomorficzne z przestrzeniami, na których te algebry Banacha są określone. Jeśli C(X) jest algebrą Banacha ciągłych funkcji zespolonych na zwartej przestrzeni Hausdorffa X z normą supremum, to jej przestrzeń Gelfanda jest homeomorficzna z X. Gamelin, op. cit., s. 16

Bibliografia[edytuj]

  • H. Garth Dales: Banach algebras and automatic continuity. T. 24. Oxford: New Series (The Clarendon Press Oxford University Press), 2000, seria: London Mathematical Society Monographs.
  • Theodore W. Palmer: Banach algebras and the general theory of *-algebras. T. Volume 1, Algebras and Banach algebras. Cambridge: Cambridge University Press, 1994, s. 303-318.
  • Walter Rudin: Analiza funkcjonalna. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2009.
  • Гамелин Т.: Равномерные алгебры. Москва: Мир, 1973. (ros.)