Twierdzenie o przekształceniu liniowym zadanym na bazie

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Twierdzenie o przekształceniu liniowym zadanym na bazietwierdzenie algebry liniowej mówiące o możliwości przedłużenia funkcji określonej na wektorach bazowych danej przestrzeni liniowej do przekształcenia liniowego określonego na całej przestrzeni. Dokładniej, jeżeli jest bazą przestrzeni liniowej a jest dowolną przestrzenią liniową nad tym samym ciałem co zaś jest dowolną funkcją, to istnieje takie przekształcenie liniowe że dla każdego elementu bazy

Przykład[edytuj | edytuj kod]

Aksjomat wyboru jest równoważny istnieniu bazy dowolnej przestrzeni liniowej. Ciało liczb rzeczywistych jest rozszerzeniem ciała liczb wymiernych; w szczególności jest przestrzenią liniową nad której baza (nazywana czasem bazą Hamela) jest mocy continuum. Korzystając z twierdzenia o przekształceniu liniowym zadanym na bazie można udowodnić istnienie nieciągłego rozwiązania równania Cauchy’ego, tj. istnienie takiej funkcji która spełniałaby równość dla wszystkich liczb rzeczywistych Prosta rzeczywista jest ośrodkowa (ośrodkiem jest np. zbiór liczb wymiernych), skąd każda funkcja ciągła na jest wyznaczona jednoznacznie przez swoje wartości na argumentach wymiernych. Oznacza to, że istnieje funkcji ciągłych na przy czym symbole oraz oznaczają odpowiednio pierwszą nieskończoną liczbę kardynalną oraz liczbę kardynalną continuum. Z drugiej strony istnieje funkcji rzeczywistych, określonych na Z twierdzenia Cantora wynika, że (słaba nierówność jest w istocie równością). Do przekształcenia liniowego (spełniającego równanie Cauchy’ego z definicji) można przedłużyć dowolną funkcję Ponieważ jest ich więcej niż wszystkich funkcji ciągłych, to istnieją nieciągłe rozwiązania równania Cauchy’ego.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Joseph J. Rotman, Advanced Modern Algebra, Prentice Hall, 2003, ​ISBN 0-13-087868-5​, s. 323.