Skala betów

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Skala betów – rosnący ciągły ciąg liczb kardynalnych indeksowany wszystkimi liczbami porządkowymi, w którym każdy kolejny wyraz jest mocą zbioru wszystkich podzbiorów wyrazu poprzedniego.

Określenie[edytuj]

Dla każdej liczby kardynalnej , symbol oznacza moc rodziny wszystkich podzbiorów .

  • Przez indukcję po wszystkich liczbach porządkowych definiuje się ciąg (jest to klasa właściwa - zob. paradoks Burali-Fortiego):
(i) jest pierwszą nieskończoną liczbą porządkową,
(ii) ,
(iii) jeśli jest liczbą graniczną, to
.

Ciąg jest nazywany skalą betów lub hierarchią betów.

Konstrukcję tę można uogólnić. Niech będzie liczbą kardynalną.

  • Przez indukcję po liczbach porządkowych zdefiniować można ciąg :
(a) ,
(b) ,
(c) jeśli jest liczbą graniczną, to
.

Własności i przykłady[edytuj]

  • dla każdego .
  • Przyjmując aksjomatykę Zermelo-Fraenkela, hipoteza continuum (CH) to zdanie stwierdzające, że , a uogólniona hipoteza continuum (GCH) mówi, że .
  • jest mocą zbioru wszystkich podzbiorów zbioru liczb naturalnych, a więc także jest mocą zbioru wszystkich liczb rzeczywistych.
  • jest mocą zbioru wszystkich podzbiorów zbioru , a więc także mocą zbioru wszystkich funkcji z w .
  • Istnieją liczby porządkowe takie, że (są to tzw. punkty stałe skali betów). Jeśli jest liczbą silnie nieosiągalną, to , ale punkty stałe skali betów można spotkać dużo wcześniej. Pierwszą taką liczbą jest granica (kres górny) ciągu
  • ma tę ciekawą własność, że jest pierwszą nieprzeliczalną silnie graniczną liczbą kardynalną: dla każdej liczby kardynalnej mamy również .

Bibliografia[edytuj]

Zobacz też[edytuj]