Skala betów

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Skala betów – rosnący ciągły ciąg liczb kardynalnych indeksowany wszystkimi liczbami porządkowymi, w którym każdy kolejny wyraz jest mocą zbioru wszystkich podzbiorów wyrazu poprzedniego.

Określenie[edytuj | edytuj kod]

Dla każdej liczby kardynalnej symbol oznacza moc rodziny wszystkich podzbiorów

  • Przez indukcję po wszystkich liczbach porządkowych definiuje się ciąg (jest to klasa właściwa – zob. paradoks Buralego-Fortiego):
(i) jest pierwszą nieskończoną liczbą porządkową,
(ii)
(iii) jeśli jest liczbą graniczną, to

Ciąg jest nazywany skalą betów lub hierarchią betów.

Konstrukcję tę można uogólnić. Niech będzie liczbą kardynalną.

  • Przez indukcję po liczbach porządkowych zdefiniować można ciąg
(a)
(b)
(c) jeśli jest liczbą graniczną, to

Własności i przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • dla każdego
  • Przyjmując aksjomatykę Zermela-Fraenkla, hipoteza continuum (CH) to zdanie stwierdzające, że a uogólniona hipoteza continuum (GCH) mówi, że
  • jest mocą zbioru wszystkich podzbiorów zbioru liczb naturalnych, a więc także jest mocą zbioru wszystkich liczb rzeczywistych.
  • jest mocą zbioru wszystkich podzbiorów zbioru a więc także mocą zbioru wszystkich funkcji z w
  • Istnieją liczby porządkowe takie, że (są to tzw. punkty stałe skali betów). Jeśli jest liczbą silnie nieosiągalną, to ale punkty stałe skali betów można spotkać dużo wcześniej. Pierwszą taką liczbą jest granica (kres górny) ciągu
  • ma tę ciekawą własność, że jest pierwszą nieprzeliczalną silnie graniczną liczbą kardynalną: dla każdej liczby kardynalnej mamy również

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]