Równanie Langevina

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Równanie Langevina - stochastyczne równanie różniczkowe bazujące na równaniu Newtona. Zaproponowane zostało po raz pierwszy w 1906 roku przez Paula Langevina do opisu ruchów Browna.

Jego najprostsza postać to

gdzie jest trajektorią śledzonej cząstki, to masa cząstki, jest współczynnikiem tarcia, oznacza deterministyczną zewnętrzną siłę mogącą działać w układzie. jest losową składową siły, powstałą na skutek przypadkowych zderzeń śledzonej cząstki z cząstkami otaczającego środowiska. W klasycznym przypadku przyjmuje się, że ma postać białego szumu.

Wiele ciekawych wyników można otrzymać bez konieczności rozwiązywania powyższego równania, opierając się na twierdzeniu fluktuacyjno-dysypacyjnym. Wartości średnie (np: prędkości) można otrzymać rozwiązując odpowiednie równanie Fokkera-Plancka opisujące ewolucję czasową gęstości prawdopodobieństwa.

Często stosowaną metodą wyznaczenia średnich, gdy nieznane są metody analityczne, jest numeryczna symulacja równania (czasami nazywane symulacjami Monte-Carlo).