Przejdź do zawartości

Promień spektralny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Promień spektralny elementu algebry zespolonej z jedynką – liczba nieujemna zdefiniowana wzorem

gdzie symbol oznacza widmo elementu w algebrze tzn. zbiór

przy czym oznacza grupę elementów odwracalnych w algebrze oraz jedynkę w tej algebrze. W przypadku, gdy widmo elementu jest puste, definiuje się

Pojęcie promienia spektralnego ma również sens dla elementów algebr, które nie mają jedynki – w tym przypadku każdy element algebry która nie ma jedynki utożsamia się z elementem algebry powstałej z poprzez dołączenie jedynki.

Podstawowe własności. Wzór Gelfanda

[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie zespoloną algebrą Banacha z jedynką oraz niech będzie dowolnym elementem Wówczas

  • widmo jest niepustym, zwartym podzbiorem płaszczyzny zespolonej; w szczególności, jeżeli to promień spektralny jest dodatni.
  • dla każdej liczby naturalnej oraz dla każdego

Ostatni wzór powyżej nazywany jest wzorem Gelfanda; został on nazwany na cześć Israela M. Gelfanda, który udowodnił go w roku 1941[1]. Ze zwartości widma elementów algeby Banacha wynika, że

Jeżeli jest zespoloną macierzą kwadratową, to jej promień spektralny jest największą liczbą spośród modułów jej wartości własnych.

Własności

[edytuj | edytuj kod]

Operatory liniowe i ograniczone działające na ustalonej przestrzeni unormowanej tworzą algebrę unormowaną ze składaniem operatorów jako mnożeniem oraz normą operatorową. Poniżej jest ustaloną przestrzenią unormowaną o wymiarze co najmniej 1 oraz są operatorami liniowymi i ciągłymi. W oznaczeniach promienia spektralnego i widma symbol algebry został pominięty.

  • Jeżeli jest skalarem, to
  • jeżeli ponadto to

Promień spektralny w ilorazowych C*-algebrach

[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie C*-algebrą oraz nieh będzie domkniętym ideałem (dwustronnym} w ). Niech oznacza kanoniczne odwzorowanie ilorazowe, tj. Wówczas dla dowolnego oraz liczby naturalnej zachodzą wzory

oraz

Jest to twierdzenie udowodnione przez G.K. Pedersena[2].

Przypisy

[edytuj | edytuj kod]
  1. I. M. Gelfand, Normierte Ringe, „Mat. Sb.” (N.S.) 9 (51) (1941), s. 3–24.
  2. G. K. Pedersen, Spectral Formulas in Quotient C*-Algebras, „Mathematische Zeitschrift” 148 (1976), s. 299–300.

Bibliografia

[edytuj | edytuj kod]
  • H.G. Dales, Banach algebras and automatic continuity, Clarendon Press, Oxford 2000, s. 78, 183, 193.