Promień spektralny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Promień spektralny elementu a algebry zespolonej z jedynką A - liczba nieujemna , zdefiniowana wzorem

,

gdzie symbol oznacza widmo elementu a w algebrze A, tzn. zbiór

,

przy czym GL(A) oznacza grupę elementów odwracalnych w algebrze A oraz jedynkę w tej algebrze. W przypadku, gdy widmo elementu a jest puste, definiuje się

.

Pojęcie promienia spektralnego ma również sens dla elementów algebr, które nie mają jedynki - w tym przypadku każdy element a algebry A, która nie ma jedynki utożsamia się z elementem algebry A#, powstałej z A poprzez dołączenie jedynki.

Podstawowe własności. Wzór Gelfanda[edytuj]

Niech A będzie zespoloną algebrą Banacha z jedynką oraz niech a będzie dowolnym elementem A. Wówczas

  • widmo jest niepustym, zwartym podzbiorem płaszczyzny zespolonej; w szczególności, jeżeli a ≠ 0, to promień spektralny jest dodatni.
  • dla każdej liczby naturalnej k oraz dla każdego
  • .

Ostatni wzór powyżej nazywany jest wzorem Gelfanda; został on nazwany na cześć Israela M. Gelfanda, który udowodnił go w roku 1941[1]. Ze zwartości widma elementów algeby Banacha wynika, że

.

Jeżeli a jest zespoloną macierzą kwadratową, to jej promień spektralny jest największą liczbą spośród modułów jej wartości własnych.

Własności[edytuj]

Operatory liniowe i ograniczone działające na ustalonej przestrzeni unormowanej E tworzą algebrę unormowaną ze składaniem operatorów jako mnożeniem oraz normą operatorową. Poniżej E jest ustaloną przestrzenią unormowaną o wymiarze co najmniej 1 oraz T, T1, T2: EE są operatorami liniowymi i ciągłymi. W oznaczeniach promienia spektralnego i widma symbol algebry został pominięty.

  • Jeżeli λ jest skalarem, to
.
.
  • , jeżeli ponadto , to
,
.
.

Promień spektralny w ilorazowych C*-algebrach[edytuj]

Niech A będzie C*-algebrą oraz nieh IA będzie domkniętym ideałem (dwustronnym} w A. Niech π: AA / I oznacza kanoniczne odwzorowanie ilorazowe, tj. π(x) = [x] (xA). Wówczas dla dowolnego xA oraz liczby naturalnej k zachodzą wzory

oraz

.

Jest to twierdzenie udowodnione przez G. K. Pedersena[2].

Przypisy

  1. I. M. Gelfand, Normierte Ringe, Mat. Sb. (N.S.) 9 (51) (1941), 3-24.
  2. G. K. Pedersen, Spectral Formulas in Quotient C*-Algebras, Mathematische Zeitschrift 148 (1976), 299-300.

Bibliografia[edytuj]

  • H.G. Dales, Banach algebras and automatic continuity, Clarendon Press, Oxford, 2000, ss. 78, 183, 193