Proper forsing

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Proper forsing (własność proper pojęć forsingu) – jedna z podstawowych własności pojęć forsingu wprowadzona przez izraelskiego matematyka Saharona Shelaha w drugiej połowie lat 70. XX wieku. Nazwa jest spolszczeniem angielskiego wyrażenia proper forcing.

W 1978 w czasie wykładów w Berkeley, Shelah przedstawił po raz pierwszy tę własność i jej zastosowania, w druku te idee ukazały się w 1980[1]. W 1982, Shelah opublikował monografię[2] przedstawiającą pierwsze systematyczne badania forsingów proper, związanych z nimi aksjomatów forsingowych i twierdzeń zachowawczych[3][4][5].

Definicje[edytuj]

W literaturze tematu funkcjonują trzy równoważne definicje pojęcia forsingów proper. Definicja teoriogrowa była opublikowana po raz pierwszy w rozprawie doktorskiej Charlsa Greya, pozostałe dwie są oryginalnymi definicjami Shelaha.

Niech będzie pojęciem forsingu.

Definicja kombinatoryczna[edytuj]

(i) Zbiór jest nieograniczony jeśli dla każdego możemy znaleźć taki że .
(ii) Zbiór jest domknięty jeśli dla każdego ciągu (dla ) elementów zbioru X spełniony jest waruenk
.
(iii) Zbiór jest stacjonarny jeśli ma on niepusty przekrój z każdym domkniętym i nieograniczonym zbiorem (tzn ).
  • Pojęcie forsingu jest proper jeśli zachowuje ono stacjonarność podzbiorów dla każdej nieprzeliczalnej liczby kardynalnej λ. Innymi słowy, jest proper jeśli dla każdej nieprzeliczalnej liczby kardynalnej λ i każdego stacjonarnego zbioru mamy, że " jest stacjonarny".

Definicja teoriogrowa[edytuj]

  • Dla rozważmy następującą grę nieskończoną długości ω. W czasie partii tej gry, dwóch graczy (Pierwszy i Druga) konstruuje ciąg w sposób następujący. Na kroku n,
najpierw Pierwszy wybiera -nazwę (term boole'owski) taką że " jest liczbą porządkową".
Potem Druga odpowiada wybierając liczbę porządkową .
Po skończonej partii orzekamy że Druga wygrała wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje warunek taki, że .
  • Pojęcie forsingu jest proper jeśli dla każdego warunku , Druga ma strategię zwycięską w grze .

Definicja oparta na warunkach generycznych[edytuj]

  • Powiemy, że zbiór jest filtrem w jeśli następujące warunki są spełnione:
(i) ,
(ii) jeśli , oraz , to również ,
(iii) jeśli , to można znaleźć taki że oraz .
  • Zbiór jest gęstym podzbiorem jeśli .
  • Niech będzie regularną liczbą kardynalną a będzie rodziną wszystkich zbiorów dziedzicznie mocy mniejszej niż . Przypuśćmy, że jest przeliczalnym elementarnym podmodelem takim, że . Powiemy, że warunek jest warunkiem -generycznym jeśli dla każdego maksymalnego antyłańcucha który należy do modelu mamy
dla każdego , jeśli są niesprzeczne, to
(Przypomnijmy, że warunki są niesprzeczne jeśli istnieje warunek silniejszy niż oba te warunki.)
  • Pojęcie forsingu jest proper, jeśli dla każdej dostatecznie dużej regularnej liczby kardynalnej istnieje taki, że:
jeśli jest przeliczalnym elementarnym podmodelem , oraz ,
to istnieje warunek który jest -generyczny.

Przykłady[edytuj]

  • Wszystkie przeliczalnie domknięte pojęcia forsingu jak też i wszystkie ccc pojęcia forsingu są proper.
  • Pojęcia forsingu Lavera, Mathiasa i Sacksa (zdefiniowane w artykule o pojęciach forsingu) są proper.

Przykładowe własności[edytuj]

  • Przypuśćmy, że pojęcie forsingu jest proper. Wówczas
(a) Jeśli oraz jest -nazwą taką, że , to istnieją warunek oraz ciąg zbiorów przeliczalnych takie, że .
(b) " jest liczbą kardynalną ".
  • Przypuśćmy, że jest iteracją z nośnikami przeliczalnymi (CS iteration) taką, że dla każdego mamy
" jest proper ".
Wówczas jest proper.
  • Załóżmy CH. Przypuśćmy, że jest iteracją z nośnikami przeliczalnymi taką, że dla każdego mamy
" jest proper mocy co najwyżej ".
Wówczas spełnia -cc (tzn każdy antyłańcuch w jest mocy co najwyżej ) oraz " " dla każdego .

Twierdzenia zachowawcze[edytuj]

Pozycja własności proper w teorii forsingów iterowanych jest wynikiem szeregu twierdzeń zachowaczych związanych z tą własnością.

Postać ogólna[edytuj]

Ogólny schemat twierdzeń iteracyjnych ma następującą postać. Mamy dwie własności pojęć forsingu, powiedzmy i i własność implikuje własność . Twierdzenia iteracyjne związane z tymi własnościami mogą być jednej z następujących postaci:

(a) Jeśli jest iteracją z nośnikami przeliczalnymi taką, że dla każdego mamy
" jest proper i ma własność ",
to jest proper i ma własność .
(b) Jeśli γ jest liczbą graniczną oraz jest taką iteracją z nośnikami przeliczalnymi, że dla każdego mamy
" jest proper" oraz ma własność ,
to (jest proper i) ma własność .

Jeśli własności są identyczne, to mówimy wówczas że mamy do czynienia z twierdzeniem zachowawczym.

Przykłady[edytuj]

  • Powiemy, że pojęcie forsingu jest -ograniczające, jeśli
.
Twierdzenie: Jeśli jest iteracją z nośnikami przeliczalnymi taką, że dla każdego mamy
" jest proper i -ograniczające ",
to jest proper i jest -ograniczające.
  • Powiemy, że pojęcie forsingu jest słabo -ograniczające, jeśli
jest nieskończony .
Twierdzenie: Jeśli γ jest liczbą graniczną oraz jest taką iteracją z nośnikami przeliczalnymi, że dla każdego mamy
" jest proper " oraz jest słabo -ograniczające,
to jest proper i jest słabo -ograniczające.

Dalsza lektura[edytuj]

Rozdziały 6 i 18 w monografii Shelaha[3] są najbardziej wyczerpującym przeglądem twierdzeń zachowawczych, ale bardzo jasno przedstawione szczególne przypadki tych twierdzeń można znaleźć w artykule Goldsterna[4] i książce Tomka Bartoszyńskiego i Haima Judaha[6]. Warto przy tej okazji zauważyć, że w artykule Goldsterna zakłada się (ze względów technicznych), że rozważane pojęcia forsingu dodają nowe liczby rzeczywiste, a prezentacja w książce Bartoszyńskiego i Judaha zawiera pewną lukę w tym aspekcie. Wyjaśnienie problemu i przedstawienie jego rozwiązania można znaleźć w artykule Jakoba Kellnera i Martina Goldsterna[7].

Aksjomat A[edytuj]

James E. Baumgartner[8] wprowadził własność pojęć forsingu, która implikuje, że rozważany forsing jest proper, a której sprawdzenie w wielu przypadkach jest prostsze (czy też bardziej intuicyjne). Własność ta znana jest pod nazwą aksjomatu A lub aksjomatu Baumgartnera.

Aksjomat Baumgartnera[edytuj]

Powiemy, że pojęcie forsingu spełnia aksjomat A, jeśli istnieje ciąg porządków częściowych na taki, że

(i) jeśli , to ,
(ii) jeśli , to ,
(iii) jeśli nieskończony ciąg warunków ma tę własność, że (dla wszystkich ), to można znaleźć warunek taki, że ,
(iv) dla każdego warunku , liczby oraz maksymalnego antyłańcucha można wybrać warunek taki, że i zbiór są niesprzeczne jest przeliczalny.

Konsekwencje i przykłady[edytuj]

  • Jeśli pojęcie forsingu spełnia aksjomat A, to jest ono proper.
  • Wszystkie przeliczalnie domknięte pojęcia forsingu jak też i wszystkie ccc pojęcia forsingu spełniają aksjomat A. (W pierwszym przypadku kładziemy , a w drugim jest równością.)
  • Forsing Silvera spełnia aksjomat A. Przypomnijmy, że pojęcie forsingu Silvera jest zdefiniowane następująco. Elementami porządku (tzn. warunkami) są funkcje takie, że oraz jest nieskończone; porządek jest odwrotną relacją wydłużania funkcji, tzn. wtedy i tylko wtedy, gdy ( oraz) .
Dla liczby naturalnej określmy relację dwuczłonową na w sposób następujący. Kładziemy oraz dla :
wtedy i tylko wtedy, gdy ( oraz) i jeśli i to .
Łatwo można sprawdzić, że są porządkami częściowymi na zaświadczającymi, że spełnia aksjomat A.
  • Ogólniej, pojęcia forsingu zbudowane zgodnie z metodą norm na możliwościach spełniają aksjomat A przy naturalnych warunkach[9].

Przypisy

  1. Shelah, Saharon: Independence results. "J. Symbolic Logic" 45 (1980), s. 563-573.
  2. Shelah, Saharon: Proper forcing. "Lecture Notes in Mathematics", 940. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1982. ISBN 3-540-11593-5.
  3. a b Shelah, Saharon: Proper and improper forcing. "Perspectives in Mathematical Logic". Springer-Verlag, Berlin, 1998. ISBN 3-540-51700-6.
  4. a b Goldstern, Martin: Tools for your forcing construction. Set theory of the reals (Ramat Gan, 1991). "Israel Math. Conf. Proc.", 6, Bar-Ilan Univ., Ramat Gan, 1993, s. 305-360.
  5. Abraham, Uri: Proper forcing. w: Handbook of Set Theory pod red. M. Foremana, A. Kanamoriego i M. Magidora, w druku. Dostępne w formacie dvi na stronie autora.
  6. Bartoszyński, Tomek; Judah, Haim. Set theory. On the structure of the real line. A K Peters, Ltd., Wellesley, MA, 1995. ISBN 1-56881-044-X
  7. Goldstern, Martin; Kellner, Jakob: New reals: can live with them, can live without them. "Math. Log. Q." 52 (2006), s. 115-124.
  8. Baumgartner, James E.: Iterated forcing, w: Surveys in set theory, pod red. A. R. D. Mathiasa. London Math. Soc. Lecture Notes Ser., 87, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1983, s. 1-59.
  9. Rosłanowski, Andrzej; Shelah, Saharon: Norms on possibilities. I. Forcing with trees and creatures. "Mem. Amer. Math. Soc." 141 (1999), no. 671, ISBN 0-8218-1180-0.

Zobacz też[edytuj]