PFA (aksjomat)

PFA (z ang. proper forcing axiom) – aksjomat forsingowy używany w teorii mnogości, topologii i pokrewnych dziedzinach matematyki. Jest to zdanie postulujące szczególną własność pewnych porządków częściowych.

Definicje formalne

Pojęcia wstępne

Niech $\mathbb {P} =(\mathbb {P} ,\leqslant )$ będzie pojęciem forsingu.

• Powiemy, że zbiór $G\subseteq \mathbb {P}$ jest filtrem w $\mathbb {P}$ jeśli następujące warunki są spełnione:

(i) $G\neq \varnothing ,$

(ii) jeśli $p,q\in \mathbb {P} ,$ $q\leqslant p$ oraz $q\in G,$ to również $p\in G,$

(iii) jeśli $p,q\in G,$ to można znaleźć $r\in G$ taki że $r\leqslant p$ oraz $r\leqslant q.$

• Zbiór $I\subseteq \mathbb {P}$ jest gęstym podzbiorem $\mathbb {P}$ jeśli $(\forall p\in \mathbb {P} )(\exists q\in I)(q\leqslant p).$
• Niech $\chi$ będzie regularną liczbą kardynalną a ${\mathcal {H}}(\chi )$ będzie rodziną wszystkich zbiorów dziedzicznie mocy mniejszej niż $\chi .$ Przypuśćmy, że $N$ jest przeliczalnym elementarnym podmodelem $({\mathcal {H}}(\chi ),\in )$ takim, że $\mathbb {P} \in N.$ Powiemy, że warunek $q\in \mathbb {P}$ jest warunkiem $(N,\mathbb {P} )$-generycznym jeśli dla każdego maksymalnego antyłańcucha $A\subseteq \mathbb {P} ,$ który należy do modelu $N$ mamy:

dla każdego $r\in A,$ jeśli $r,q$ są niesprzeczne, to $r\in N.$

(Przypomnijmy, że warunki $r,q$ są niesprzeczne, jeśli istnieje warunek $s\in \mathbb {P}$ silniejszy niż oba te warunki.)

• Pojęcie forsingu $\mathbb {P}$ jest proper, jeśli dla każdej dostatecznie dużej regularnej liczby kardynalnej $\chi$ istnieje $x\in {\mathcal {H}}(\chi )$ taki, że:

jeśli $N$ jest przeliczalnym elementarnym podmodelem $({\mathcal {H}}(\chi ),\in ),$ $\mathbb {P} ,x\in N$ oraz $p\in \mathbb {P} \cap N,$

to istnieje warunek $q\leqslant p$ który jest $(N,\mathbb {P} )$-generyczny.

PFA i BPFA

PFA oznacza następujące zdanie:

jeśli pojęcie forsingu $\mathbb {P}$ jest proper, ${\mathcal {I}}$ jest rodziną gęstych podzbiorów $\mathbb {P}$ oraz $|{\mathcal {I}}|\leqslant \aleph _{1},$

to istnieje filtr $G\subseteq \mathbb {P} ,$ który ma niepusty przekrój z każdym zbiorem z ${\mathcal {I}}$ (tzn. $(\forall D\in {\mathcal {I}})(D\cap G\neq \varnothing )$).

BPFA jest następującym zdaniem:

jeśli pojęcie forsingu $\mathbb {P}$ jest proper, ${\mathcal {A}}$ jest rodziną maksymalnych antyłańcuchów w zupełnej algebrze Boole’a $\mathrm {RO} (\mathbb {P} )$ wyznaczonej przez to pojęcie forsingu oraz zarówno $|{\mathcal {A}}|\leqslant \aleph _{1},$ jak i każdy antyłańcuch w rodzinie ${\mathcal {A}}$ jest mocy co najwyżej $\aleph _{1},$

to istnieje filtr $G\subseteq \mathrm {RO} (\mathbb {P} ),$ który ma niepusty przekrój z każdym antyłańcuchem z ${\mathcal {A}}$ (tzn. $(\forall A\in {\mathcal {A}})(A\cap G\neq \varnothing )$).

Nazwa BPFA jest skrótem angielskiego zwrotu Bounded Proper Forcing Axiom.

Historia i niesprzeczność

• Idea forsingów proper i związanego z nimi aksjomatu forsingowego była stworzona przez izraelskiego matematyka Saharona Szelacha w drugiej połowie lat 70. XX wieku. W 1978 w czasie wykładów w Berkeley przedstawił on po raz pierwszy ten koncept, w druku ukazał się on w 1980.
• W 1982, Szelach opublikował monografię przedstawiającą pierwsze systematyczne badania forsingów proper, związanych z nimi aksjomatów forsingowych i twierdzeń zachowawczych.
• W 1995, Martin Goldstern i Saharon Szelach wprowadzają BPFA który zyskał sporą popularność w ostatnich latach (ze względu na słabsze założenia potrzebne aby wykazać jego niesprzeczność).

Podstawą do wykazania niesprzeczności PFA (czy też BPFA) jest twierdzenie Szelacha mówiące, że iteracja z przeliczalnym nośnikiem forsingów proper jest forsingiem proper (a więc nie kolapsuje $\omega _{1}$) Niestety, w iteracjach tego typu liczby kardynalne powyżej $\aleph _{1}$ mogą być kolapsowane, jeśli więc chcemy przeiterować wszystkie możliwe forsingi proper to potrzebujemy dodatkowego narzędzia aby złapać swój własny ogon. Narzędziem tym jest zwykle diament Lavera związany z liczbą super-zwartą.

Twierdzenie [Szelach]: Jeśli teoria „ZFC+istnieje liczba super-zwarta” jest niesprzeczna, to również teoria „ZFC+PFA” jest niesprzeczna.

Aksjomat BPFA wymaga znacznie słabszych założeń:

Twierdzenie [Goldstern-Szelach]: Jeśli teoria „ZFC+istnieje liczba Mahlo” jest niesprzeczna, to również teoria „ZFC+BPFA” jest niesprzeczna.

(W tym ostatnim twierdzeniu trochę mniej niż istnienie liczby Mahlo jest wymagane; co więcej Goldstern i Szelach podali dokładną siłę niesprzeczności BPFA.)

Przykłady forsingów proper

• Wszystkie przeliczalnie domknięte pojęcia forsingu, jak też i wszystkie ccc pojęcia forsingu są proper.
• Pojęcia forsingu Lavera, Mathiasa i Sacksa (zdefiniowane w artykule o pojęciach forsingu) są proper.
• Pojęcia forsingu zbudowane zgodnie z metodą norm na możliwościach są proper przy naturalnych warunkach.

Przykłady konsekwencji

Załóżmy PFA. Wówczas:

• $2^{\aleph _{0}}=2^{\aleph _{1}}=\aleph _{2},$
• MA,
• SCH,
• nie istnieją drzewa Kurepy,
• suma $\aleph _{1}$ (s₀)-zbiorów Marczewskiego jest $(s_{0})$-zbiorem.

Aby przedstawić kolejną konsekwencję PFA musimy wprowadzić następującą definicję. Powiemy, że podzbiór $A\subseteq \mathbb {R}$ prostej rzeczywistej jest $\aleph _{1}$-gęsty w $\mathbb {R}$ jeśli dla każdego niepustego przedziału otwartego $P\subseteq \mathbb {R}$ mamy, że $|A\cap P|=\aleph _{1}.$

• Zakładając PFA, każde dwa $\aleph _{1}$-gęste podzbiory prostej są porządkowo izomorficzne.

Zobacz też

• aksjomat Martina
• duże liczby kardynalne
• forsing
• hipoteza continuum
• pojęcie forsingu
• proper forsing