Skończenie generowana grupa przemienna

Skończenie generowana grupa przemienna – w algebrze abstrakcyjnej grupa przemienna (abelowa), której zbiór generatorów jest skończony. W szczególności, każda skończona grupa abelowa jest skończenie generowana.

Skończenie generowane grupy mają prostą strukturę i mogą być całkowicie sklasyfikowane, jak wyjaśniono niżej.

Definicja

Niech $(G,+)$ będzie przemienna. Grupę tę nazywa się skończenie generowaną, jeżeli istnieje skończenie wiele takich elementów $x_{1},\ldots ,x_{s}\in G$, że każdy $x\in G$ może być zapisany jako

$x=n_{1}x_{1}+n_{2}x_{2}+\ldots n_{s}x_{s}$,

gdzie $n_{1},\ldots ,n_{s}$ są całkowite. Wtedy mówi się, że zbiór $\{x_{1},\ldots ,x_{s}\}$ jest zbiorem generującym (generatorów) $G$ lub że $x_{1},\ldots ,x_{s}$ generują $G$.

Przykłady

• Liczby całkowite $(\mathbb {Z} ,+)$ są skończenie generowaną grupą abelową,
• liczby całkowite modulo n $\mathbb {Z} _{n}$ są skończenie generowanymi grupami przemiennymi,
• dowolna suma prosta skończenie wielu skończenie generowanych grup przemiennych także jest skończenie generowaną grupą przemienną

Powyższa lista wyczerpuje przykłady podgrup skończenie generowanych.

• Grupa $(\mathbb {Q} ,+)$ liczb wymiernych nie jest skończenie generowana: niech $x_{1},\ldots ,x_{s}$ będą liczbami wymiernymi, a $w$ liczbą naturalną względnie pierwszą z mianownikami liczb $x_{1},\ldots ,x_{s}$, wtedy przedstawienie elementu ${\tfrac {1}{w}}$ za pomocą $x_{1},\ldots ,x_{s}$ okazuje się niemożliwe.

Klasyfikacja

Twierdzenie o klasyfikacji skończenie generowanych grup abelowych (będące szczególnym przypadkiem twierdzenia strukturalnego dla skończenie generowanych modułów nad dziedziną ideałów głównych) może być wyrażone na dwa niżej wymienione sposoby (podobnie jak dla d.i.g.).

Rozkład na czynniki pierwsze

Sformułowanie rozkładu na czynniki pierwsze mówi, że każda skończenie generowana grupa abelowa $G$ jest izomorficzna z sumą prostą cyklicznych grup o rzędach będącymi potęgami liczb pierwszych oraz nieskończonych grup cyklicznych. To jest, każda taka grupa jest izomorficzna z grupą postaci

$\mathbb {Z} ^{n}\oplus \mathbb {Z} _{q_{1}}\oplus \ldots \oplus \mathbb {Z} _{q_{t}}$,

gdzie $n\geqslant 0$, a liczby $q_{1},\ldots ,q_{t}$ są (niekoniecznie różnymi) potęgami liczb pierwszych. W szczególności $G$ jest skończona wtedy i tylko wtedy, gdy $n=0$. Wartości $n,q_{1},\ldots ,q_{t}$ są wyznaczone jednoznacznie (co do porządku) przez $G$.

Rozkład na czynniki niezmiennicze

Dowolna skończenie generowana grupa przemienna $G$ może być zapisana także jako iloczyn prosty postaci

$\mathbb {Z} ^{n}\oplus \mathbb {Z} _{k_{1}}\oplus \ldots \oplus \mathbb {Z} _{k_{u}}$,

gdzie $k_{1}$ dzieli $k_{2}$, które dzieli $k_{3}$ i tak dalej, aż do $k_{u}$. Znowu, liczby $n,k_{1},\ldots ,k_{u}$ są jednoznacznie wyznaczone przez $G$ (tutaj wraz z jednoznacznym porządkiem) i są nazywane czynnikami niezmienniczymi.

Równoważność

Powyższe stwierdzenia są równoważne na mocy chińskiego twierdzenia o resztach, które mówi w tym wypadku, że $\mathbb {Z} _{m}$ jest izomorficzna z iloczynem prostym $\mathbb {Z} _{j}$ przez $\mathbb {Z} _{k}$ wtedy i tylko wtedy, gdy $j$ oraz $k$ są względnie pierwsze i $m=jk$.

Wnioski

Wyrażone inaczej twierdzenie o klasyfikacji mówi, że skończenie generowana grupa przemienna jest sumą prostą grupy abelowej wolnej skończonej rangi i skończonej grupy przemiennej, z których każda jest wyznaczona jednoznacznie co do izomorfizmu. Skończona grupa abelowa jest podgrupą torsyjną $G$. Ranga $G$ jest określona jako ranga beztorsyjnej części $G$; tzn. jest to liczba $n$ w powyższych wzorach.

Wnioskiem płynącym z twierdzenia o klasyfikacji jest, że każda skończenie generowana beztorsyjna grupa przemienna jest wolną grupą abelową. Warunek skończonego generowania jest tu kluczowy: $\mathbb {Q}$ jest beztorsyjna, ale nie jest wolna grupą abelową.

Każda podgrupa i grupa ilorazowa skończenie generowanej grupy abelowej jest znowu skończenie generowaną grupą abelową. Skończenie generowane grupy przemienne, wraz z homomorfizmami grupowymi stanowią kategorię przemienną, będącą podkategorią Serre'a kategorii grup abelowych.

Nieskończenie generowane grupy przemienne

Należy mieć na uwadze, że nie każda grupa przemienna skończonej rangi jest skończenie generowana; grupa pierwszej rangi $\mathbb {Q}$ jest jednym z przykładów, kolejnym jest grupa rangi zerowej będąca sumą prostą przeliczalnie wielu egzemplarzy $\mathbb {Z} _{2}$.

Zobacz też

• przegląd zagadnień z zakresu matematyki,
• twierdzenie Jordana-Höldera jako uogólnienie na grupy nieprzemienne.