Liczby wymierne: Różnice pomiędzy wersjami

	Definicja intuicyjna
	Ułamki liczb całkowitych o niezerowym mianowniku; liczby rzeczywiste mające skończone, bądź okresowe od pewnego miejsca rozwinięcie dziesiętne.

Przeglądaj historię interaktywnie

[wersja przejrzana]

← poprzednia edycja następna edycja →

Usunięta treść Dodana treść

WizualnieWikikod

Jednokolumnowy

Wersja z 06:16, 19 lut 2020

Liczby wymierne – liczby, które można zapisać w postaci ilorazu dwóch liczb całkowitych, w którym dzielnik jest różny od zera. Są to więc liczby, które można przedstawić za pomocą ułamka zwykłego. Zbiór liczb wymiernych oznaczany jest zazwyczaj symbolem $\mathbb {Q} .$ Wobec tego:

\mathbb {Q} =\left\{{\frac {m}{n}}:m,n\in \mathbb {Z} ,n\neq 0\right\}.

Liczby wymierne są szczególnym przypadkiem liczb rzeczywistych. Liczbę rzeczywistą, która nie jest wymierna nazywamy liczbą niewymierną. Szczególnym przypadkiem liczb wymiernych są m.in. liczby całkowite i liczby naturalne.

Liczby wymierne tworzą ciało ułamków pierścienia liczb całkowitych. Konstrukcję tę możemy przedstawić w następujący sposób:

Niech w zbiorze par liczb całkowitych $(a,b)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} ^{*},$ których następnik jest różny od zera, dana będzie relacja równoważności

(a,b)\sim (c,d)

wtedy i tylko wtedy, gdy

ad=bc.

W zbiorze klas abstrakcji tej relacji określa się dwa działania

$[(a,b)]+[(c,d)]=[(ad+bc,bd)],$
$[(a,b)]\cdot [(c,d)]=[(ac,bd)].$

Parę $(a,b)$ zapisuje się zwykle w postaci ułamka ${\tfrac {a}{b}},$ bądź jeśli $b=1,$ to parę tę utożsamia się po prostu z liczbą $a.$

Własności

Liczby wymierne z dodawaniem, mnożeniem, zerem i jedynką określonymi w poprzedniej sekcji stanowią ciało.
- W arytmetyce teoretycznej ciało liczb wymiernych definiuje się jako ciało ułamków pierścienia liczb całkowitych.
Zbiór liczb wymiernych jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych, czyli jest to zbiór przeliczalny (co oznacza się $|\mathbb {Q} |=\aleph _{0}$ ).
Jako podzbiór przestrzeni liczb rzeczywistych $\mathbb {R} ,$ liczby wymierne są gęste w $\mathbb {R} .$

Dla wykazania tej własności wystarczy udowodnić, że dla każdych

x,y\in \mathbb {R} ,\;x<y

istnieje liczba wymierna

u\in \mathbb {Q} ,\;x<u<y.

Dowód Gdyby

x,y

były wymierne, to oczywiście

u={\tfrac {x+y}{2}}

spełnia tezę. Niech więc choć jedno spośród

x,y

jest niewymierne.

Jeśli $x<0<y,$ to można przyjąć $u=0.$
Jeśli $0=x<y,$ to ponieważ $\mathbb {R}$ jest ciałem archimedesowym, to wystarczy wskazać $n\in \mathbb {N}$ takie, że $n>{\tfrac {1}{y}},$ czyli $0<{\tfrac {1}{n}}<y.$
Podobnie gdy $x<y=0,$ wskazujemy $n>{\tfrac {1}{-x}}$ i wówczas $x<{\tfrac {1}{-n}}<0.$
Niech więc $0<x<y$ i niech np. $x$ jest niewymierne.
Dla pewnego $q\in \mathbb {N}$ zachodzi $q>{\tfrac {1}{y-x}},$ stąd $1<q(y-x).$
Z drugiej strony istnieje $p\in \mathbb {N}$ takie, że $p>qx,$ niech $p_{0}$ będzie najmniejszą liczbą naturalną o tej własności. Pokażemy, że $qx<p_{0}<qx+1.$ Rzeczywiście, gdyby $p_{0}\geqslant qx+1,$ to byłoby $p_{0}-1\geqslant qx.$ Ponieważ równość nie może zachodzić (liczba niewymierna nie może być liczbą naturalną), więc $p_{0}-1>qx$ wbrew temu, że $p_{0}$ jest najmniejszą liczbą wśród liczb naturalnych $p$ o własności $p>qx.$
Ostatecznie $qx<p_{0}<qx+1$ łącznie z warunkiem $1<q(y-x)$ daje

qx<p_{0}<qx+q(y-x)=qy

czyli

x<{\frac {p_{0}}{q}}<y.

Jeśli

y

jest niewymierne i

x

wymierne, to wystarczy znaleźć

n\in \mathbb {N}

takie, że

n>y

i znaleźć jak poprzednio

u\in \mathbb {Q}

spełniające

0<n-y<u<n-x.

Wówczas

n-u\in \mathbb {Q}

i

x<n-u<y.

Jeśli $x<y<0,$ to wystarczy znaleźć jak w poprzednim punkcie $u\in \mathbb {Q}$ spełniające $0<-y<u<-x$ i wówczas $x<-u<y.$

Zobacz też

@@ Linia 1: / Linia 1: @@
 {{Definicja intuicyjna|Ułamki liczb całkowitych o niezerowym mianowniku; liczby rzeczywiste mające skończone, bądź okresowe od pewnego miejsca [[rozwinięcie dziesiętne]].}}
-'''Liczby wymierne''' – [[Liczba|liczby]], które można zapisać w postaci [[Dzielenie|ilorazu]] dwóch [[liczby całkowite|liczb całkowitych]], w którym dzielnik jest różny od [[0 (liczba)|zera]]. Są to więc liczby, które można przedstawić za pomocą [[Ułamek|ułamka zwykłego]]. [[Zbiór]] liczb wymiernych oznaczany jest zazwyczaj symbolem <math>\mathbb Q.</math> Wobec tego:
+'''Liczby wymierne''' – [[Liczba|liczby]], które można zapisać w postaci [[Dzielenie|ilorazu]] dwóch [[liczby całkowite|liczb całkowitych]], w którym dzielnik jest różny od [[0|zera]]. Są to więc liczby, które można przedstawić za pomocą [[Ułamek|ułamka zwykłego]]. [[Zbiór]] liczb wymiernych oznaczany jest zazwyczaj symbolem <math>\mathbb Q.</math> Wobec tego:
 : <math>\mathbb Q = \left\{ \frac{m}{n} : m, n \in \mathbb Z, n \ne 0 \right\}.</math>
@@ Linia 7: / Linia 7: @@
 Liczby wymierne tworzą [[ciało ułamków]] [[pierścień (matematyka)|pierścienia]] liczb całkowitych. Konstrukcję tę możemy przedstawić w następujący sposób:
-Niech w zbiorze [[para uporządkowana|par]] liczb całkowitych <math>(a,b) \in \mathbb Z \times \mathbb Z^*,</math> których następnik jest różny od [[0 (liczba)|zera]], dana będzie [[relacja równoważności]]
+Niech w zbiorze [[para uporządkowana|par]] liczb całkowitych <math>(a,b) \in \mathbb Z \times \mathbb Z^*,</math> których następnik jest różny od [[0|zera]], dana będzie [[relacja równoważności]]
 : <math>(a,b) \sim (c,d)</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>ad=bc.</math>
@@ Linia 22: / Linia 22: @@
 * Jako podzbiór przestrzeni [[liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]] <math>\mathbb R,</math> liczby wymierne są [[zbiór gęsty|gęste]] w <math>\mathbb R.</math>
-:Dla wykazania tej własności wystarczy udowodnić, że dla każdych <math>x,y\in \mathbb R,\; x<y</math> istnieje liczba wymierna <math>u\in \mathbb Q, \; x<u<y.</math>
+: Dla wykazania tej własności wystarczy udowodnić, że dla każdych <math>x,y\in \mathbb R,\; x<y</math> istnieje liczba wymierna <math>u\in \mathbb Q, \; x<u<y.</math>
-:'''Dowód''' Gdyby <math>x,y</math> były wymierne, to oczywiście <math>u=\tfrac{x+y}{2}</math> spełnia tezę. Niech więc choć jedno spośród <math>x,y</math> jest niewymierne.
+: '''Dowód''' Gdyby <math>x,y</math> były wymierne, to oczywiście <math>u=\tfrac{x+y}{2}</math> spełnia tezę. Niech więc choć jedno spośród <math>x,y</math> jest niewymierne.
-:*Jeśli <math>x<0<y</math>, to można przyjąć <math>u=0.</math>
+:* Jeśli <math>x<0<y,</math> to można przyjąć <math>u=0.</math>
-:*Jeśli <math>0=x<y</math>, to ponieważ <math>\mathbb R</math> jest [[ciało archimedesowe|ciałem archimedesowym]], to wystarczy wskazać <math>n\in \mathbb N</math> takie, że <math>n>\tfrac{1}{y}</math>, czyli <math>0<\tfrac{1}{n}<y.</math><br/>Podobnie gdy <math>x<y=0</math>, wskazujemy <math>n>\tfrac{1}{-x}</math> i wówczas <math>x<\tfrac{1}{-n}<0.</math>
+:* Jeśli <math>0=x<y,</math> to ponieważ <math>\mathbb R</math> jest [[ciało archimedesowe|ciałem archimedesowym]], to wystarczy wskazać <math>n\in \mathbb N</math> takie, że <math>n>\tfrac{1}{y},</math> czyli <math>0<\tfrac{1}{n}<y.</math><br />Podobnie gdy <math>x<y=0,</math> wskazujemy <math>n>\tfrac{1}{-x}</math> i wówczas <math>x<\tfrac{1}{-n}<0.</math>
-:*Niech więc <math> 0<x<y</math> i niech np. <math>x</math> jest niewymierne.<br/> Dla pewnego <math>q\in \mathbb N</math> zachodzi <math>q>\tfrac{1}{y-x}</math>, stąd <math>1<q(y-x)</math>. <br/>Z drugiej strony istnieje  <math>p\in\mathbb N</math> takie, że <math>p>qx</math>, niech <math>p_0</math> będzie najmniejszą liczbą naturalną o tej własności. Pokażemy, że <math>qx<p_0<qx+1</math>. Rzeczywiście, gdyby <math>p_0\geqslant qx+1</math>, to byłoby <math>p_0-1\geqslant qx</math>. Ponieważ równość nie może zachodzić (liczba niewymierna nie może być liczbą naturalną), więc <math>p_0-1>qx</math> wbrew temu, że <math>p_0</math> jest najmniejszą liczbą wśród liczb naturalnych <math>p</math> o własności <math>p>qx.</math><br/> Ostatecznie <math>qx<p_0<qx+1</math> łącznie z warunkiem  <math>1<q(y-x)</math> daje
+:* Niech więc <math>0<x<y</math> i niech np. <math>x</math> jest niewymierne.<br />Dla pewnego <math>q\in \mathbb N</math> zachodzi <math>q>\tfrac{1}{y-x},</math> stąd <math>1<q(y-x).</math><br />Z drugiej strony istnieje <math>p\in\mathbb N</math> takie, że <math>p>qx,</math> niech <math>p_0</math> będzie najmniejszą liczbą naturalną o tej własności. Pokażemy, że <math>qx<p_0<qx+1.</math> Rzeczywiście, gdyby <math>p_0\geqslant qx+1,</math> to byłoby <math>p_0-1\geqslant qx.</math> Ponieważ równość nie może zachodzić (liczba niewymierna nie może być liczbą naturalną), więc <math>p_0-1>qx</math> wbrew temu, że <math>p_0</math> jest najmniejszą liczbą wśród liczb naturalnych <math>p</math> o własności <math>p>qx.</math><br />Ostatecznie <math>qx<p_0<qx+1</math> łącznie z warunkiem <math>1<q(y-x)</math> daje
-:::<math>qx<p_0<qx+ q(y-x)=qy </math>
+::: <math>qx<p_0<qx+ q(y-x)=qy</math>
-::czyli
+:: czyli
-:::<math>x<\frac{p_0}{q}<y. </math>
+::: <math>x<\frac{p_0}{q}<y.</math>
-::Jeśli <math>y</math> jest niewymierne i <math>x</math> wymierne, to wystarczy znaleźć <math>n\in \mathbb N</math> takie, że <math>n>y</math> i znaleźć jak poprzednio <math>u\in \mathbb Q</math> spełniające <math>0<n-y<u<n-x</math>. Wówczas <math>n-u\in \mathbb Q</math> i <math>x<n-u<y.</math>
+:: Jeśli <math>y</math> jest niewymierne i <math>x</math> wymierne, to wystarczy znaleźć <math>n\in \mathbb N</math> takie, że <math>n>y</math> i znaleźć jak poprzednio <math>u\in \mathbb Q</math> spełniające <math>0<n-y<u<n-x.</math> Wówczas <math>n-u\in \mathbb Q</math> i <math>x<n-u<y.</math>
-:*Jeśli <math>x<y<0</math>, to wystarczy znaleźć jak w poprzednim punkcie <math>u\in \mathbb Q</math> spełniające <math>0<-y<u<-x</math> i wówczas <math>x<-u<y.</math>
+:* Jeśli <math>x<y<0,</math> to wystarczy znaleźć jak w poprzednim punkcie <math>u\in \mathbb Q</math> spełniające <math>0<-y<u<-x</math> i wówczas <math>x<-u<y.</math>
 == Zobacz też ==