Liczby wymierne

Definicja intuicyjna

Ułamki liczb całkowitych o niezerowym mianowniku; liczby rzeczywiste mające skończone, bądź okresowe od pewnego miejsca rozwinięcie dziesiętne.

Liczby wymierne – liczby, które można zapisać w postaci ilorazu dwóch liczb całkowitych, w którym dzielnik jest różny od zera. Są to więc liczby, które można przedstawić za pomocą ułamka zwykłego. Zbiór liczb wymiernych oznaczany jest zazwyczaj symbolem $\mathbb {Q} .$ Wobec tego:

$\mathbb {Q} =\left\{{\frac {m}{n}}:m,n\in \mathbb {Z} ,n\neq 0\right\}.$

Liczby wymierne są szczególnym przypadkiem liczb rzeczywistych. Liczbę rzeczywistą, która nie jest wymierna nazywamy liczbą niewymierną. Szczególnym przypadkiem liczb wymiernych są m.in. liczby całkowite i liczby naturalne.

Liczby wymierne tworzą ciało ułamków pierścienia liczb całkowitych. Konstrukcję tę możemy przedstawić w następujący sposób:

Niech w zbiorze par liczb całkowitych $(a,b)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} ^{*},$ których następnik jest różny od zera, dana będzie relacja równoważności

$(a,b)\sim (c,d)$ wtedy i tylko wtedy, gdy $ad=bc.$

W zbiorze klas abstrakcji tej relacji określa się dwa działania

• $[(a,b)]+[(c,d)]=[(ad+bc,bd)],$
• $[(a,b)]\cdot [(c,d)]=[(ac,bd)].$

Parę $(a,b)$ zapisuje się zwykle w postaci ułamka ${\tfrac {a}{b}},$ bądź jeśli $b=1,$ to parę tę utożsamia się po prostu z liczbą $a.$

Własności

• Liczby wymierne z dodawaniem, mnożeniem, zerem i jedynką określonymi w poprzedniej sekcji stanowią ciało.
  • W arytmetyce teoretycznej ciało liczb wymiernych definiuje się jako ciało ułamków pierścienia liczb całkowitych.
• Zbiór liczb wymiernych jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych, czyli jest to zbiór przeliczalny (co oznacza się $|\mathbb {Q} |=\aleph _{0}$).
• Jako podzbiór przestrzeni liczb rzeczywistych $\mathbb {R} ,$ liczby wymierne są gęste w $\mathbb {R} .$

Dla wykazania tej własności wystarczy udowodnić, że dla każdych $x,y\in \mathbb {R} ,\;x<y$ istnieje liczba wymierna $u\in \mathbb {Q} ,\;x<u<y.$

Dowód Gdyby $x,y$ były wymierne, to oczywiście $u={\tfrac {x+y}{2}}$ spełnia tezę. Niech więc choć jedno spośród $x,y$ jest niewymierne.

• Jeśli $x<0<y,$ to można przyjąć $u=0.$
• Jeśli $0=x<y,$ to ponieważ $\mathbb {R}$ jest ciałem archimedesowym, to wystarczy wskazać $n\in \mathbb {N}$ takie, że $n>{\tfrac {1}{y}},$ czyli $0<{\tfrac {1}{n}}<y.$
  Podobnie gdy $x<y=0,$ wskazujemy $n>{\tfrac {1}{-x}}$ i wówczas $x<{\tfrac {1}{-n}}<0.$
• Niech więc $0<x<y$ i niech np. $x$ jest niewymierne.
  Dla pewnego $q\in \mathbb {N}$ zachodzi $q>{\tfrac {1}{y-x}},$ stąd $1<q(y-x).$
  Z drugiej strony istnieje $p\in \mathbb {N}$ takie, że $p>qx,$ niech $p_{0}$ będzie najmniejszą liczbą naturalną o tej własności. Pokażemy, że $qx<p_{0}<qx+1.$ Rzeczywiście, gdyby $p_{0}\geqslant qx+1,$ to byłoby $p_{0}-1\geqslant qx.$ Ponieważ równość nie może zachodzić (liczba niewymierna nie może być liczbą naturalną), więc $p_{0}-1>qx$ wbrew temu, że $p_{0}$ jest najmniejszą liczbą wśród liczb naturalnych $p$ o własności $p>qx.$
  Ostatecznie $qx<p_{0}<qx+1$ łącznie z warunkiem $1<q(y-x)$ daje

$qx<p_{0}<qx+q(y-x)=qy$

czyli

$x<{\frac {p_{0}}{q}}<y.$

Jeśli $y$ jest niewymierne i $x$ wymierne, to wystarczy znaleźć $n\in \mathbb {N}$ takie, że $n>y$ i znaleźć jak poprzednio $u\in \mathbb {Q}$ spełniające $0<n-y<u<n-x.$ Wówczas $n-u\in \mathbb {Q}$ i $x<n-u<y.$

• Jeśli $x<y<0,$ to wystarczy znaleźć jak w poprzednim punkcie $u\in \mathbb {Q}$ spełniające $0<-y<u<-x$ i wówczas $x<-u<y.$

Zobacz też

• liczba
• liczby niewymierne
• liczby przestępne
• ułamek egipski