Baza (przestrzeń liniowa)

Baza – pojęcie będące przeniesieniem oraz rozwinięciem idei układu współrzędnych kartezjańskich w przestrzeniach euklidesowych na abstrakcyjne przestrzenie liniowe.

Uwaga: Bazy w nieskończenie wymiarowych przestrzeniach nazywane są czasami bazami Hamela (jest to częsty zwyczaj w analizie funkcjonalnej). Z drugiej strony, niektórzy matematycy rezerwują nazwę baza Hamela dla dowolnej bazy przestrzeni liczb rzeczywistych jako przestrzeni liniowej nad ciałem liczb wymiernych.

Definicja

Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem F. Zbiór B ⊂ V nazywany jest bazą przestrzeni V, gdy jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, tj. gdy C jest takim zbiorem liniowo niezależnym, że C ⊇ B, to C = B.

Zbiór B ⊂ V jest bazą wtedy i tylko wtedy, gdy dowolny niezerowy wektor v ∈ V może być zapisany jednoznacznie w postaci kombinacji liniowej elementów zbioru B, tj. gdy istnieją (wyznaczone jednoznacznie): liczba naturalna n, skalary c₁, ..., c_n ∈ F oraz takie elementy x₁, ..., x_n, że v = c₁x₁ + ... + c_nx_n.

Innymi słowy, baza to minimalny zbiór liniowo niezależny B, który generuje całą przestrzeń, tj. V = lin B.

Przykłady

• Zbiór pusty jest bazą jednoelementowej przestrzeni {0}.

• Dany jest zbiór A = {(0, 1), (1, 1), (1, 0)} wektorów w przestrzeni euklidesowej R². Wektor (1, 1) można przedstawić jako:

(1, 1) = 1·(1, 0) + 1·(0, 1) .

Wynika stąd, że A nie jest bazą przestrzeni R².

Z drugiej strony, niech B = {(1, 1), (1, 0)} i niech (x, y) będzie dowolnym wektorem R². Szukając przedstawienia wektora (x, y) jako kombinacji liniowej wektorów zbioru B mamy:

(x, y) = α·(1, 1) + β·(1, 0) = (α + β, α) skąd α = y i β = x – y.

Zatem przedstawienie wektora (x, y) jako kombinacji liniowej elementów zbioru B jest jednoznaczne, co oznacza, że zbiór B jest bazą przestrzeni R².

• Niech c₀₀ oznacza przestrzeń liniową złożoną ze wszystkich ciągów o wyrazach rzeczywistych, których co najwyżej skończenie wiele wyrazów jest niezerowych. Wówczas zbiór B = {e₁, e₂, e₃, ... } jest bazą przestrzeni c₀₀, przy czym e_n jest wektorem, który na n-tej współrzędnej przyjmuje wartość 1 oraz 0 na pozostałych.

Współrzędne wektora w bazie. Funkcjonały stowarzyszone z bazą

Niech B będzie bazą przestrzeni liniowej V. Ponieważ każdy element v ∈ V może być przedstawiony jednoznacznie w postaci kombinacji liniowej elementów bazy B,

v = f₁(x₁) x₁ + ... + f_n(x_n) x_n,

gdzie f₁(x₁), ..., f_n(x_n) ∈ F oraz x₁, ..., x_n ∈ B, więc dla każdego x ∈ B odwzorowanie f_x: V → F

f_x(v) = współczynnik stojący przy x w zapisie v jako kombinacji liniowej elementów z B

jest liniowe (formalnie, f_x(v) = 0, gdy x nie pojawia się w zapisie). W szczególności, odwozorwania f_x (x ∈ B) są elementami przestrzeni sprzężonej V* i nazywane są funkcjonałami stowarzyszonymi z bazą B. Funkcjonały te tworzą bazą przestrzeni V* wtedy i tylko wtedy, gdy V jest skończeniewymiarowa, tj. wtedy i tylko wtedy, gdy B jest zbiorem skończonym.

Przykład

Współrzędnymi wektora v = (-3, 4) w bazie B = {(1, 1), (1, 0)} przestrzeni V = R² są liczby f_{(1, 1)}(v) = 4 oraz f_{(1, 0)}(v) = -7.

Ciągłość funkcjonałów stowarzyszonych z bazą w przestrzeniach Banacha

Niech V będzie przestrzenią Banacha oraz niech B będzie jej bazą (Hamela). W przypadku, gdy V jest skończeniewymiarowa, to funkcjonały stowarzyszone z bazą B są ciągłe i tworzą bazę przestrzeni V*. Gdy V jest nieskończeniewymiarowa, to sytuacja zmienia się diametralnie i zachodzi następujące twierdzenie: co najwyżej skończenie wiele spośród funkcjonałów stowarzyszonych z B jest ciągłych.

Dowód. Niech B będzie bazą nieskończeniewymiarowej przestrzeni Banacha V. Wówczas zbiór B₀ = {x · ||x||^-1: x ∈ B} też jest bazą oraz funkcjonały stowarzyszone z bazami B₀ i B różnią się odpowiednio między sobą tylko o stałą - bez straty ogólności można więc założyć, że każdy wektor z B ma normę równą 1. Załóżmy nie wprost, że funkcjonały f_xn są ciągłe dla pewnego różnowartościowego ciągu (x_n) z B. Z zupełności przestrzeni V wynika, że suma szeregu

$v=\sum _{k=1}^{\infty }x_{k}2^{-k}$

należy do V. Niech (y_n) będzie ciągiem sum częściowych szergu v, tj.

$y_{n}=\sum _{k=1}^{n}x_{k}2^{-k}\;\;(n\in \mathbb {N} ).$

Z ciągłości f_xn wynika, że

$f_{x_{n}}(v)=f_{x_{n}}(\lim _{n\to \infty }y_{n})=\lim _{n\to \infty }f_{x_{n}}(y_{n})=2^{-n}\;\;(n\in \mathbb {N} )$

co prowadzi do sprzeczności bo v ma tylko skończenie wiele niezerowych współczynników w bazie V, tj. zbiór {f_x(v): x ∈ B} jest skończony. □

Istnienie bazy

Każda przestrzeń liniowa ma bazę. Dowód tego faktu przebiega różnie w zależności od tego, czy w danej przestrzeni istnieje skończony zbiór generujący tę przestrzeń, czy nie. W tym drugim przypadku należy odwołać się do lematu Kuratowskiego-Zorna. Dowód istnienia bazy nie jest konstruktywny, tzn. nie daje żadnego algorytmu na otrzymanie wektorów tworzących bazę.

Każdy zbiór liniowo niezależnych wektorów można uzupełnić tak, by otrzymać bazę przestrzeni (twierdzenie Steinitza). Na odwrót, z każdego zbioru wektorów generującego przestrzeń, można wybrać podzbiór, który jest jej bazą.

Andreas Blass udowodnił w 1984, że powyższe twierdzenie (każda przestrzeń liniowa ma bazę) jest równoważne z aksjomatem wyboru.

Wymiar przestrzeni liniowej

H. Löwig jako pierwszy udowodnił, że wszystkie bazy danej przestrzeni liniowej są równoliczne (krótszy dowód został podany przez H.E. Lacey'a). Fakt ten pozwala określić wymiar przestrzeni liniowej jako moc jej dowolnej bazy. Tak określony wymiar przestrzeni liniowej nazywa się często wymiarem Hamela, w odróżnieniu od innych pojęć wymiaru stosowanych w matematyce.

Przestrzeń, która ma bazę skończoną nazywana jest przestrzenią skończeniewymiarową, w przeciwnym wypadku mówimy o przestrzeni nieskończenie wymiarowej. Nieskończenie wymiarowe przestrzenie Banacha mają wymiar Hamela co najmniej continuum

Przestrzenie euklidesowe

Dowolna przestrzeń kartezjańska jest z określenia skończenie wymiarowa. Jej baza złożona z wektorów (1, 0, 0, ..., 0), (0, 1, 0, ..., 0), ..., (0, 0, 0, ..., 1) nazywana jest bazą kanoniczną lub standardową. Układ współrzędnych dowolnego wektora v = (v₁, v₂, ..., v_n) w bazie kanonicznej pokrywa się z jego współrzędnymi w sensie przestrzeni euklidesowej.

Orientacja bazy

Dwie bazy uporządkowane w rzeczywistej przestrzeni liniowej są nazywane zgodnie zorientowanymi, jeśli macierz przejścia między od jednej bazy do drugiej ma dodatni wyznacznik. Bazy które nie są zgodnie zorientowane, nazywane są bazami o przeciwnej orientacji.

Zobacz też

• baza przestrzeni topologicznej