Liczby wymierne: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
drobne redakcyjne |
→Własności: uzupełniam o dowód umieszczonej tu własności |
||
Linia 21: | Linia 21: | ||
* Zbiór liczb wymiernych jest równoliczny ze zbiorem [[liczby naturalne|liczb naturalnych]], czyli jest to [[zbiór przeliczalny]] (co oznacza się <math>|\mathbb Q| = \aleph_0</math>). |
* Zbiór liczb wymiernych jest równoliczny ze zbiorem [[liczby naturalne|liczb naturalnych]], czyli jest to [[zbiór przeliczalny]] (co oznacza się <math>|\mathbb Q| = \aleph_0</math>). |
||
* Jako podzbiór przestrzeni [[liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]] <math>\mathbb R,</math> liczby wymierne są [[zbiór gęsty|gęste]] w <math>\mathbb R.</math> |
* Jako podzbiór przestrzeni [[liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]] <math>\mathbb R,</math> liczby wymierne są [[zbiór gęsty|gęste]] w <math>\mathbb R.</math> |
||
:'''Dowód''' Wystarczy wykazać, że dla każdych <math>x,y\in \mathbb R,\; 0\leqslant x<y</math> istnieje liczba wymierna <math>u\in \mathbb Q, \; x<u<y.</math> |
|||
:Jeśli <math>x,y</math> są wymierne, to <math>u=\tfrac{x+y}{2}</math> spełnia tezę. <br/>Niech więc np. <math>x</math> jest niewymierne. Ponieważ <math>\mathbb R</math> jest [[ciało archimedesowe|ciałem archimedesowym]], istnieje <math>q\in \mathbb N</math> takie, że <math>q>\frac{1}{y-x}</math>, stąd <math>1<q(y-x)</math>. <br/>Z drugiej strony istnieje <math>p\in\mathbb N</math> takie, że <math>p>qx</math>, niech <math>p_0</math> będzie najmniejszą liczbą naturalną o tej własności. Pokażemy, że <math>qx<p_0<qx+1</math>. Rzeczywiście, gdyby <math>p_0\geqslant qx+1</math>, to byłoby <math>p_0-1\geqslant qx</math>. Ponieważ równość nie może zachodzić (liczba niewymierna nie może być liczbą naturalną), więc <math>p_0-1>qx</math> wbrew temu, że <math>p_0</math> jest najmniejszą liczbą wśród liczb naturalnych <math>p</math> o własności <math>p>qx</math>.<br/> Ostatecznie <math>qx<p_0<qx+1</math> łącznie z warunkiem <math>1<q(y-x)</math> daje |
|||
::<math>qx<p_0<qx+ q(y-x)=qy </math> |
|||
:czyli |
|||
::<math>x<\frac{p_0}{q}<y. </math> |
|||
:Jeśli <math>y</math> jest niewymierne, wystarczy znaleźć <math>n\in \mathbb N</math> takie, że <math>n>y</math> i znaleźć <math>u\in \mathbb Q</math> spełniające <math>n-y<u<n-x</math>. Wówczas <math>n-u\in \mathbb Q</math> i <math>x<n-u<y.</math> |
|||
== Zobacz też == |
== Zobacz też == |
Wersja z 23:54, 15 lut 2020
Definicja intuicyjna |
Ułamki liczb całkowitych o niezerowym mianowniku; liczby rzeczywiste mające skończone, bądź okresowe od pewnego miejsca rozwinięcie dziesiętne. |
Liczby wymierne – liczby, które można zapisać w postaci ilorazu dwóch liczb całkowitych, w którym dzielnik jest różny od zera. Są to więc liczby, które można przedstawić za pomocą ułamka zwykłego. Zbiór liczb wymiernych oznaczany jest zazwyczaj symbolem Wobec tego:
Liczby wymierne są szczególnym przypadkiem liczb rzeczywistych. Liczbę rzeczywistą, która nie jest wymierna nazywamy liczbą niewymierną. Szczególnym przypadkiem liczb wymiernych są m.in. liczby całkowite i liczby naturalne.
Liczby wymierne tworzą ciało ułamków pierścienia liczb całkowitych. Konstrukcję tę możemy przedstawić w następujący sposób:
Niech w zbiorze par liczb całkowitych których następnik jest różny od zera, dana będzie relacja równoważności
- wtedy i tylko wtedy, gdy
W zbiorze klas abstrakcji tej relacji określa się dwa działania
Parę zapisuje się zwykle w postaci ułamka bądź jeśli to parę tę utożsamia się po prostu z liczbą
Własności
- Liczby wymierne z dodawaniem, mnożeniem, zerem i jedynką określonymi w poprzedniej sekcji stanowią ciało.
- W arytmetyce teoretycznej ciało liczb wymiernych definiuje się jako ciało ułamków pierścienia liczb całkowitych.
- Zbiór liczb wymiernych jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych, czyli jest to zbiór przeliczalny (co oznacza się ).
- Jako podzbiór przestrzeni liczb rzeczywistych liczby wymierne są gęste w
- Dowód Wystarczy wykazać, że dla każdych istnieje liczba wymierna
- Jeśli są wymierne, to spełnia tezę.
Niech więc np. jest niewymierne. Ponieważ jest ciałem archimedesowym, istnieje takie, że , stąd .
Z drugiej strony istnieje takie, że , niech będzie najmniejszą liczbą naturalną o tej własności. Pokażemy, że . Rzeczywiście, gdyby , to byłoby . Ponieważ równość nie może zachodzić (liczba niewymierna nie może być liczbą naturalną), więc wbrew temu, że jest najmniejszą liczbą wśród liczb naturalnych o własności .
Ostatecznie łącznie z warunkiem daje - czyli
- Jeśli jest niewymierne, wystarczy znaleźć takie, że i znaleźć spełniające . Wówczas i