Wnętrze (matematyka)

Punkt $W$ jest punktem wewnętrznym figury

Wnętrze zbioru (figury, bryły) $F$ – pojęcie w geometrii lub topologii, zbiór tych punktów przestrzeni, które należą do zbioru $F$ wraz z pewnym swoim otoczeniem.

Wnętrze zbioru $F$ oznaczamy $\operatorname {int} (F),$ $\operatorname {Int} (F)$ lub $F^{\circ }.$ Punkty należące do wnętrza zbioru nazywamy punktami wewnętrznymi zbioru.

Własności

Z definicji wnętrza zbioru wynikają bezpośrednio poniższe jego własności.

1. Wnętrze zbioru $F$ jest otwartym podzbiorem $F.$
2. Wnętrze jest sumą wszystkich otwartych podzbiorów $F.$
3. Wnętrze jest największym zbiorem otwartym zawartym w $F.$
4. Zbiór jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest swoim własnym wnętrzem.
5. Wnętrze dowolnego zbioru równe jest swojemu wnętrzu: $\operatorname {int} (\operatorname {int} (S))=\operatorname {int} (S).$
6. Jeżeli $S$ jest podzbiorem $F,$ to $\operatorname {int} (S)$ jest podzbiorem $\operatorname {int} (F):S\subset F\Rightarrow \operatorname {int} (S)\subseteq \operatorname {int} (F).$
7. Wnętrze części wspólnej zbiorów jest częścią wspólną wnętrz tych zbiorów: $\operatorname {int} (S\cap F)=\operatorname {int} (S)\cap \operatorname {int} (F).$
8. Jeżeli $S$ jest zbiorem otwartym, to $S$ jest podzbiorem $F$ wtedy i tylko wtedy, gdy $S$ jest podzbiorem $\operatorname {int} (F).$

Wnętrze zbioru zależy od topologii – jeżeli na przestrzeni dane są dwie różne topologie, to ten sam zbiór może być wnętrzem w jednej topologii, a w innej nie.

W przestrzeni metrycznej punkt $p$ zbioru $F$ jest punktem wewnętrznym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje kula o środku w punkcie $p$ całkowicie zawarta w zbiorze $F.$

Pozostałe własności

1. $\operatorname {int} \;A\cup \operatorname {int} \;B\subset \operatorname {int} \;(A\cup B)$ dla dowolnych zbiorów $A\subset X,\ B\subset X$
2. $\bigcup _{s\in S}\operatorname {int} \;A_{s}\subset \operatorname {int} \;\left(\bigcup _{s\in S}A_{s}\right)$ dla dowolnej rodziny zbiorów $\{A_{s}\subset X:s\in S\}$
3. Dla każdego $A\subset X$ mamy
   $\operatorname {int} \;A=X\setminus \operatorname {cl} \;(X\setminus A)$
4. $A\subset X\Rightarrow \operatorname {int} \;A\subset \operatorname {int} \;\operatorname {cl} \;(A)$
   przykład:
   $\operatorname {int} \;\mathbb {Q} =\varnothing \subset \operatorname {int} \;\operatorname {cl} \;(\mathbb {Q} )=\mathbb {R}$

Operacja wnętrza a topologia

Jeżeli operację brania wnętrza zbioru przyjmiemy jako pewną operację pierwotną na zbiorach, która spełnia warunki 5, 6, 7 oraz warunek $\operatorname {int} (X)=X,$ gdzie $X$ oznacza całą przestrzeń, to może ona posłużyć do zdefiniowania topologii przez operację wnętrza w zbiorze $X$.

Przykłady

• W dowolnej przestrzeni wnętrze zbioru pustego jest zbiorem pustym, a wnętrzem całej przestrzeni jest przestrzeń.
• W przestrzeni dyskretnej każdy zbiór jest swoim wnętrzem.
• Niech $R$ oznacza zbiór liczb rzeczywistych z naturalną topologią. Wówczas:
  • wnętrzem przedziału domkniętego $[a,b]$ jest przedział otwarty $(a,b)$
  • wnętrzem przedziału $[a,b)$ jest przedział $(a,b)$
  • wnętrzem zbioru skończonego jest zbiór pusty
  • wnętrzem zbioru liczb wymiernych jest zbiór pusty
  • wnętrzem zbioru liczb niewymiernych także jest zbiór pusty
  • zbiór ma niepuste wnętrze wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera pewien przedział.

Zobacz też

• brzeg
• zewnętrze