Zbiór pierwszej kategorii

Zbiór pierwszej kategorii (czasami zbiór mizerny lub szczupły) – zbiór, który można przedstawić w postaci przeliczalnej sumy zbiorów nigdziegęstych.

Definicja formalna

Niech $(X,\tau )$ będzie przestrzenią topologiczną. Powiemy, że zbiór $A\subseteq X$ jest pierwszej kategorii Baire’a w $X$ (lub I kategorii) jeśli można go przedstawić jako sumę $A=\bigcup \limits _{n=1}^{\infty }A_{n},$ gdzie każdy ze zbiorów $A_{n}$ jest nigdziegęsty w $X$ (tzn. $\mathrm {int} {\big (}\mathrm {cl} (A_{n}){\big )}=\emptyset$ ). Rodzinę wszystkich zbiorów pierwszej kategorii w $X$ będziemy oznaczać przez ${\mathcal {K}}(X)$ (albo po prostu przez ${\mathcal {K}}$ jeśli jest jasne o jakiej przestrzeni topologicznej mówimy).

Zbiory które nie są pierwszej kategorii nazywane są zbiorami drugiej kategorii Baire’a (lub II kategorii).

Własności

Zbiory pierwszej kategorii w przestrzeni $X$ tworzą σ-ideał podzbiorów $X.$ Każdy zbiór z ${\mathcal {K}}(X)$ jest zawarty w pewnym zbiorze typu F_σ, który też jest pierwszej kategorii.
Otwarte niepuste podzbiory przestrzeni zupełnej nie są pierwszej kategorii w tej przestrzeni.
Doskonałe przestrzenie polskie wyglądają tak samo jeśli patrzymy na ich podzbiory borelowskie i zbiory pierwszej kategorii: jeśli $X,Y$ są doskonałymi przestrzeniami polskimi to istnieje izomorfizm borelowski $\varphi \colon X\longrightarrow Y$ który zachowuje zbiory pierwszej kategorii (tzn. $A\in {\mathcal {K}}(X)$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\varphi (A)\in {\mathcal {K}}(Y)$ ).
Każda rodzina rozłącznych borelowskich podzbiorów prostej rzeczywistej $\mathbb {R}$ które nie są pierwszej kategorii jest co najwyżej przeliczalna.

Przykłady i zastosowanie

Każdy przeliczalny podzbiór prostej rzeczywistej $\mathbb {R}$ jest I kategorii w $\mathbb {R} .$ W szczególności zbiór liczb wymiernych jest pierwszej kategorii (choć jest to gęsty podzbiór $\mathbb {R}$ ).
Prostą rzeczywistą $\mathbb {R}$ można przedstawić jako sumę dwóch zbiorów, $\mathbb {R} =K\cup L,$ takich że

K

jest zbiorem pierwszej kategorii, a

L

jest zbiorem miary zero Lebesgue’a.

Aby podać przykład takich zbiorów

K,L

ustalmy numerację

\langle q_{n}\colon n=1,2,3,\dots \rangle

zbioru liczb wymiernych. (Przypomnijmy, że zbiór liczb wymiernych jest przeliczalny.) Dla liczb naturalnych

n,m

niech

I_{m}^{n}

będzie odcinkiem otwartym o środku w

q_{n}

i długości

2^{-(n+m)}.

Wówczas zbiór

L=\bigcap \limits _{m=1}^{\infty }\bigcup \limits _{n=1}^{\infty }I_{m}^{n}

jest miary zero, ale jego dopełnienie

K=\mathbb {R} \setminus L

jest pierwszej kategorii.

Inny przykład rozkładu jak powyżej jest dany przez liczby Liouville’a: zbiór liczb Liouville’a jest miary zero na prostej, a jego dopełnienie jest zbiorem pierwszej kategorii.
Polski matematyk Stefan Banach przedstawił w 1931 następujące spektakularne zastosowanie zbiorów pierwszej kategorii. Niech ${\mathcal {C}}([0,1])$ będzie przestrzenią wszystkich funkcji ciągłych z odcinka $[0,1]$ w zbiór liczb rzeczywistych $\mathbb {R} .$ Wyposażmy ${\mathcal {C}}([0,1])$ w topologię zbieżności jednostajnej zadanej przez metrykę

d(f,g)=\sup\{|f(x)-g(x)|\colon x\in [0,1]\}.

Wówczas

{\mathcal {C}}([0,1])

jest przestrzenią polską. Rozważmy zbiór

NR={\big \{}f\in {\mathcal {C}}([0,1])\colon f

nie ma pochodnej w żadnym punkcie odcinka

[0,1]\ {\big \}}.

Banach udowodnił, że zbiór

{\mathcal {C}}([0,1])\setminus NR

jest pierwszej kategorii w

{\mathcal {C}}([0,1]),

czyli że z topologicznego punktu widzenia prawie każda funkcja ciągła nie jest różniczkowalna w żadnym punkcie.

Gra Banacha-Mazura

Ze zbiorami pierwszej kategorii związana jest (najprawdopodobniej) pierwsza z pozycyjnych gier nieskończonych rozważanych w matematyce. Gra ta była opisana przez polskiego matematyka Stanisława Mazura w Problemie 43 w Księdze Szkockiej. Odpowiedź na pytanie Mazura była dana przez Stefana Banacha w 1935.

Niech Z będzie dowolnym podzbiorem $\mathbb {R} .$ Rozważmy następującą grę dwóch graczy, oznaczanych przez A i B. Gracze wykonują nieskończenie wiele posunięć ponumerowanych liczbami naturalnymi $n=1,2,3,\dots$ Zaczynają w ten sposób, że Gracz A wybiera niepusty przedział otwarty $I_{1},$ a Gracz B odpowiada przez wskazanie niepustego otwartego przedziału $I_{2}\subseteq I_{1}.$ Kiedy gracze dochodzą do $n$ tego kroku w grze, to mają oni skonstruowany zstępujący ciąg niepustych przedziałów otwartych $I_{1}\supseteq I_{2}\supseteq \ldots I_{2n-2}\supseteq I_{2n-1}.$ Na $n$ tym etapie gry najpierw Gracz A wybiera niepusty przedział otwarty $I_{2n}\subseteq I_{2n-1},$ a potem Gracz B wskazuje niepusty otwarty przedział $I_{2n+1}\subseteq I_{2n}.$

Kiedy gracze wykonają już wszystkie posunięcia (jest ich nieskończenie wiele!), to decydujemy, że Gracz B wygrał partię $\langle I_{n}\colon n=1,2,3,4,\dots \rangle$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\bigcap \limits _{n=1}^{\infty }I_{n}\subseteq Z.$

Okazuje się, że Gracz B ma strategię zwycięską w tej grze wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór $\mathbb {R} \setminus Z$ jest pierwszej kategorii.

Zobacz też