Punkt nieciągłości

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Punkt nieciągłości – dla danej funkcji, punkt jej dziedziny, w którym nie jest ciągła.

Punkt nieciągłości nazywamy odosobnionym punktem nieciągłości, jeśli istnieje sąsiedztwo tego punktu w którym funkcja jest ciągła. Przykład funkcji mającej odosobniony punkt nieciągłości to funkcja signum (znak) - punkt nieciągłości to 0. Przykładem funkcji, dla której każdy punkt jej dziedziny jest punktem nieciągłości, jest funkcja Dirichleta.

Punkty nieciągłości bywają często mylone z punktami, które nie należą do dziedziny funkcji. Dla przykładu funkcja dana wzorem

f(x)=\frac{1}{x},

która jest określona w zbiorze (-\infty, 0)\cup (0,\infty) jest ciągła (nie ma punktów nieciągłości), a więc z definicji, punkt x_0=0 nie może być jej punktem nieciągłości. Podobnie rzecz ma się np. z innymi funkcjami wymiernymi, funkcją tangens, cotangens itp.

Używając pojęcia punktu nieciągłości można podać związek pomiędzy całkowalnością w sensie Riemanna a Lebesgue'a:

Niech f\colon [a,b]\to \mathbb{R} będzie ograniczoną funkcją mierzalną. Funkcja f jest całkowalna w sensie Riemanna wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór jej punktów nieciągłości jest miary zero.

Pierwszy rodzaj[edytuj | edytuj kod]

Punkt nieciągłości p funkcji f nazywamy punktem nieciągłości pierwszego rodzaju, jeżeli skończone są granice funkcji

  • lewostronna \lim_{x \to p-} f(x) oraz
  • prawostronna \lim_{x \to p+} f(x).

Każdy punkt nieciągłości pierwszego rodzaju jest odosobnionym punktem nieciągłości.

Ponadto punkt nieciągłości pierwszego rodzaju nazywamy usuwalnym, jeśli granica prawostronna i lewostronna w tym punkcie są równe.

Drugi rodzaj[edytuj | edytuj kod]

Punkt nieciągłości p funkcji f nazywamy drugiego rodzaju , jeżeli nie istnieją skończone granice funkcji

  • lewostronna: \lim_{x \to p-} f(x) lub
  • prawostronna: \lim_{x \to p+} f(x).

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]