Funkcja jednostajnie ciągła

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Jednostajna ciągłość jest własnością pewnej klasy funkcji, określonych między przestrzeniami metrycznymi. Jednostajna ciągłość funkcji pociąga ciągłość, ale na ogół nie odwrotnie.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech I będzie przedziałem liczb rzeczywistych oraz niech f: I → ℂ będzie funkcją. Wówczas f jest jednostajnie ciągła gdy dla każdego ε > 0 istnieje takie δ > 0, iż dla wszelkich x, yI zachodzi oszacowanie

| f(y) - f(x) | < ε

o ile tylko

| y - x | < δ.

Definicję tę można łatwo uogólnić na funkcje określone na przestrzeniach metrycznych.

Niech (X, ϱ) i (Y, σ) będą przestrzeniami metrycznymi oraz niech f: XY będzie funkcją. Wówczas f jest jednostajnie ciągła gdy dla każdego ε > 0 istnieje takie δ > 0, iż dla wszelkich x, yX zachodzi oszacowanie

σ(f(x), f(y)) < ε

o ile tylko

ϱ(x, y) < δ.

Własności funkcji jednostajnie ciągłych[edytuj | edytuj kod]

1. Każda funkcja jednostajnie ciągła jest ciągła.

Dowód. Jeśli f: XY jest odwzorowaniem między dwiema przestrzeniami metrycznymi (X, ϱ) i (Y, σ), to ciągłość f oznacza, że dla każdego punktu xX i każdego ε > 0 takie istnieje \delta_{x,\varepsilon}>0 (indeks dolny przy \delta oznacza, że liczba ta zależy od x i \varepsilon) taka, że obraz f(K(x,\delta_{x,\varepsilon})) kuli K(x,\delta_{x,\varepsilon}) o środku x i promieniu \delta_{x,\varepsilon} zawiera się w kuli o środku f(x) i promieniu \varepsilon. Tymczasem jednostajna ciągłość f oznacza, że dla każdego \varepsilon>0 istnieje \delta_{\varepsilon}>0 taka, że obraz f(K) dowolnej kuli K o promieniu \delta_{\varepsilon} zawiera się w kuli o promieniu ε. Jednostajna ciągłość to zatem warunek silniejszy niż ciągłość.

2. Jeśli (x_n)_{n\in\mathbb{N}} jest ciągiem Cauchy'ego elementów X oraz f jest jednostajnie ciągła, to ciąg (f(x_n))_{n\in\mathbb{N}} jest również ciągiem Cauchy'ego.

Dowód. Niech ε > 0 . Na mocy jednostajnej ciągłości f: XY istnieje taka liczba δ > 0, że dla dowolnych x, yX spełniających warunek ϱ(x, y) < δ zachodzi oszacowanie σ(f(x), f(y)) < ε. Skoro (x_n)_{n\in\mathbb{N}} jest ciągiem Cauchy'ego, to istnieje liczba N\in\mathbb{N} taka, że \varrho(x_n,x_k)<\delta dla dowolnych n,k\geq N. Zatem \sigma(f(x_n),f(x_k))<\varepsilon dla dowolnych n,k\geq N. To dowodzi, że ciąg (f(x_n))_{n\in\mathbb{N}} jest ciągiem Cauchy'ego.\;_\square
Twierdzenie to jest kryterium pozwalającym sprawdzić czy dana funkcja nie jest jednostajnie ciągła. Rozważmy następujący przykład. Niech f: (a, b) → ℂ będzie dana wzorem f(x) = 1 / x. Wówczas (1/n)_{n\in\mathbb{N}} jest ciągiem Cauchy'ego, podczas gdy (f(1/n))_{n\in\mathbb{N}} nie jest ciągiem Cauchy'ego. Stąd wynika, że f nie jest jednostajnie ciągła. Jest to przykład funkcji ciągłej, która nie jest jednostajnie ciągła.

3. Niech (X, ϱ) będzie całkowicie ograniczoną przestrzenią metryczną (np. X jest ograniczonym przedziałem liczb rzeczywistych). Wówczas każda funkcja jednostajnie ciągła f: X → ℂ jest ograniczona.

Dowód. Dla ε = 1 niech δ > 0 będzie takie, iż dla dowolnych x, yX spełniających warunek ϱ(x, y) < δ zachodzi oszacowanie |f(y) - f(x)| < 1. Niech K1, K2, ..., Kn będzie ciągiem kul otwartych o promieniu δ, których suma jest równa X. Niech xi będzie środkiem Ki (in). Niech
M = max{ |f(xi)|: in }.
Ustalmy yX. Wówczas yKiy dla pewnnego iyn. Ostatecznie
|f(y) | = |f(y) - f(xiy) + f(xiy) | ≤ 1 + M,
co dowodzi ograniczoności f.

4. Jeśli funkcja spełnia warunek Lipschitza, to jest jednostajnie ciągła.

5. Każda funkcja ciągła na przestrzeni zwartej jest jednostajnie ciągła (Twierdzenie Heinego-Cantora).

6. W szczególności, każda funkcja określona i ciągła na przedziale domkniętym [a, b] jest jednostajnie ciągła. Na przedziale otwartym już tak nie musi być, na przykład funkcja f(x) = 1 / x na przedziale (0, 1) jest ciągła, ale nie jest jednostajnie ciągła. Jeśli jednak granice funkcji na otwartych końcach przedziału istnieją, to na takim przedziale funkcja również będzie jednostajnie ciągła.

Uogólnienie na przestrzenie liniowo-topologiczne[edytuj | edytuj kod]

Niech U,V będą przestrzeniami liniowo-topologicznymi. Mówimy, że odzworowanie f\colon U\longrightarrow V jest jednostajnie ciągłe, jeśli dla każdego otoczenia B zera przestrzeni V istnieje otoczenie A zera przestrzeni U takie, że dla każdych v_1,v_2\in A

v_1-v_2\in A \Rightarrow f(v_1)-f(v_2)\in B.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]