Cykloida

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Cykloida

Cykloidakrzywa, jaką opisuje tor punktu leżącego na obwodzie koła, które toczy się bez poślizgu po prostej.

Cykloida opisana jest równaniami parametrycznymi postaci[1]:

x=r\begin{pmatrix}t-\sin t\end{pmatrix}
y=r\begin{pmatrix}1-\cos t\end{pmatrix}
t \in \mathbb{R},\ r>0

Rozwiązując równania ogólne dla t otrzymujemy:

x = 2\pi rk \pm \left( r \arccos \left(1 - \frac{y}{r}\right) - \sqrt{y(2r - y)} \right )
k \in \mathbb{Z},\ r>0,\ 0 \leq y \leq 2r

Cykloida jest też związana z zagadnieniem krzywej najkrótszego spadku (brachistochrona), będąca fragmentem łuku cykloidy.

Uogólnienie pojęcia cykloidy[edytuj | edytuj kod]

Cykloidy (wydłużona, zwykła i skrócona) dla punktu położonego w różnych miejscach koła o promieniu r=1

Równania ogólne postaci[2][3]:

x=rt-c\cdot\sin t
y=r-c\cdot\cos t
t \in \mathbb{R},\ r>0,\ c>0

dają:

  • dla c<r cykloidę skróconą, zakreślaną przez ustalony punkt leżący wewnątrz toczącego się koła[2] (linia czerwona),
  • dla c>r cykloidę wydłużoną zakreślaną przez ustalony punkt leżący na zewnątrz koła[3] (linia niebieska).
  • dla c=r zwykłą cykloidę zakreślaną przez punkt na brzegu koła (linia zielona).

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy