Miara licząca

Miara licząca – w teorii miary możliwa do zdefiniowania na dowolnym zbiorze miara: „wielkość” danego podzbioru określona jest liczbą elementów, jeżeli jest on skończony oraz nieskończonością, jeżeli jest on nieskończony. Umożliwia ona wzmocnienie wyników dotyczących zbieżności szeregów poprzez zastosowanie do ciągów twierdzeń teorii całki Lebesgue'a (m.in. o zbieżności monotonicznej, o zbieżności ograniczonej, Fubiniego, lematu Fatou, zob. dalej).

Definicja

Niech X będzie dowolnym zbiorem oraz niech P(X) będzie zbiorem potęgowym zbioru X (tj. rodziną wszystkich jego podzbiorów). Funkcja μ: P(X) → [0, ∞] określona wzorem

$\mu(A) = \begin{cases}|A|, & \mbox{gdy } A\mbox{ jest zbiorem skończonym}, \\ \infty, & \mbox{gdy } A \mbox{ jest zbiorem nieskończonym}, \end{cases}$

gdzie |A| oznacza moc zbioru A, jest miarą nazywaną miarą liczącą na zbiorze X (zob. zbiór skończony).

Przestrzenie L_p

Przestrzeń L_p(Γ, μ), p ∈ [1, ∞), określoną na zbiorze Γ z miarą liczącą μ oznacza się symbolem ℓ_p(Γ). Jest to przestrzeń określonych na Γ funkcji o wartościach skalarnych, które są sumowalne w p-tej potędze, tzn. dowolna funkcja f tej przestrzeni przyjmuje co najwyżej przeliczalnie wiele niezerowych wartości (przez co funkcje te można traktować jako ciągi) oraz

$\|f\|_p = \left(\sum_{i\in \Gamma} \bigl|f(i)\bigr|^p \right)^\frac{1}{p}$

jest liczbą skończoną. Przestrzeń ℓ_p(Γ) jest unormowana, przy czym norma zadana jest powyższym wzorem, a ponieważ jako przestrzeń metryczna jest zupełna, to jest ona przestrzenią Banacha. Przestrzenie ℓ_p(Γ) są refleksywne wtedy i tylko wtedy, gdy p ∈ (1, ∞). Dla wykładników sprzężonych p, q ∈ [1, ∞] istnieje (izometryczny) izomorfizm

$\bigl(\ell_p(\Gamma)\bigr)^* \cong \ell_q(\Gamma)$

wprowadzany przez standardowe parowanie

$\langle f, g\rangle = \sum_{i\in \Gamma}f(i)g(i),$

gdzie f ∈ ℓ_p(Γ) oraz g ∈ ℓ_q(Γ).