Miara licząca
Miara licząca (zliczająca) – w teorii miary intuicyjny sposób określenia miary na dowolnym zbiorze: „wielkość” danego podzbioru określa się liczbą elementów, jeżeli jest on skończony oraz nieskończonością, jeżeli jest on nieskończony.
[edytuj] Definicja
Niech
będzie dowolnym zbiorem, rozważmy σ-algebrę
składającą się z wszystkich podzbiorów
. Miarę
na tej σ-algebrze definiujemy wg wzoru
gdzie
oznacza moc zbioru
. Wówczas
jest przestrzenią z miarą.
[edytuj] Zastosowania
Miara licząca umożliwia przeniesienie wielu stwierdzeń o przestrzeniach Lp, takich jak nierówność Cauchy'ego-Schwarza, nierówność Höldera, czy nierówność Minkowskiego, na bardziej znany grunt. Jeżeli
, a
jest przestrzenią z miarą liczącą na
, to
jest tym samym co
(lub
) z normą zdefiniowaną przez
dla
. Podzielenie miary liczącej
przez liczbę
elementów
daje rozkład jednostajny dyskretny.
Podobnie jeśli
będzie zbiorem liczb naturalnych, a
jest przestrzenią z miarą liczącą na
, to
zawiera te ciągi
dla których norma
jest skończona. Przestrzeń tą oznacza się często przez
.
Miara licząca określona na zbiorach przeliczalnych umożliwia również stosowanie twierdzeń teorii całki Lebesgue'a (takich jak twierdzenie Lebesgue'a o zbieżności monotonicznej, o zbieżności ograniczonej, lemat Fatou, twierdzenie Fubiniego itp.) do szeregów.


