Miara licząca

Miara licząca (zliczająca) – w teorii miary intuicyjny sposób określenia miary na dowolnym zbiorze: „wielkość” danego podzbioru określa się liczbą elementów, jeżeli jest on skończony oraz nieskończonością, jeżeli jest on nieskończony.

Definicja

Niech $X$ będzie dowolnym zbiorem, rozważmy σ-algebrę $\mathfrak M$ składającą się z wszystkich podzbiorów $X$. Miarę $\mu$ na tej σ-algebrze definiujemy wg wzoru

$\mu(A) = \begin{cases}|A|, & \mbox{gdy } |A|<\aleph_0 \\ \infty, & \mbox{gdy } |A| \geqslant \aleph_0 \end{cases}$

gdzie $|A|$ oznacza moc zbioru $A$. Wówczas $(X, \mathfrak M, \mu)$ jest przestrzenią z miarą.

Zastosowania

Miara licząca umożliwia przeniesienie wielu stwierdzeń o przestrzeniach L^p, takich jak nierówność Cauchy'ego-Schwarza, nierówność Höldera, czy nierówność Minkowskiego, na bardziej znany grunt. Jeżeli $X = \{1, \dots, n\}$, a $S$ jest przestrzenią z miarą liczącą na $X$, to $\mathrm L_p(S)$ jest tym samym co $\mathbb R^n$ (lub $\mathbb C^n$) z normą zdefiniowaną przez

$\|\mathbf x\|_p = \left(\sum_{i=1}^n~|x_i|^p\right)^{1/p}$

dla $\mathbf x = (x_1, \dots, x_n)$. Podzielenie miary liczącej $\mu$ przez liczbę $n$ elementów $X$ daje rozkład jednostajny dyskretny.

Podobnie jeśli $X$ będzie zbiorem liczb naturalnych, a $S$ jest przestrzenią z miarą liczącą na $X$, to $\mathrm L_p(S)$ zawiera te ciągi $\mathbf x = (x_n)_n$ dla których norma

$\|\mathbf x\|_p = \left(\sum_{i=1}^\infty~|x_i|^p\right)^{1/p}$

jest skończona. Przestrzeń tą oznacza się często przez $\ell^p$.

Miara licząca określona na zbiorach przeliczalnych umożliwia również stosowanie twierdzeń teorii całki Lebesgue'a (takich jak twierdzenie Lebesgue'a o zbieżności monotonicznej, o zbieżności ograniczonej, lemat Fatou, twierdzenie Fubiniego itp.) do szeregów.