Miara licząca

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Miara licząca – w teorii miary możliwa do zdefiniowania na dowolnym zbiorze miara: „wielkość” danego podzbioru określona jest liczbą elementów, jeżeli jest on skończony oraz nieskończonością, jeżeli jest on nieskończony. Umożliwia ona wzmocnienie wyników dotyczących zbieżności szeregów poprzez zastosowanie do ciągów twierdzeń teorii całki Lebesgue'a (m.in. o zbieżności monotonicznej, o zbieżności ograniczonej, Fubiniego, lematu Fatou, zob. dalej).

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech X będzie dowolnym zbiorem oraz niech P(X) będzie zbiorem potęgowym zbioru X (tj. rodziną wszystkich jego podzbiorów). Funkcja μ: P(X) → [0, ∞] określona wzorem

\mu(A) = \begin{cases}|A|, & \mbox{gdy } A\mbox{ jest zbiorem skończonym}, \\ \infty, & \mbox{gdy } A \mbox{ jest zbiorem nieskończonym}, \end{cases}

gdzie |A| oznacza moc zbioru A, jest miarą nazywaną miarą liczącą na zbiorze X (zob. zbiór skończony).

Przestrzenie Lp[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Zobacz też: przestrzeń Lp.

Przestrzeń Lp(Γ, μ), p ∈ [1, ∞), określoną na zbiorze Γ z miarą liczącą μ oznacza się symbolem p(Γ). Jest to przestrzeń określonych na Γ funkcji o wartościach skalarnych, które są sumowalne w p-tej potędze, tzn. dowolna funkcja f tej przestrzeni przyjmuje co najwyżej przeliczalnie wiele niezerowych wartości oraz

\|f\|_p = \left(\sum_{i\in \Gamma} \bigl|f(i)\bigr|^p \right)^\frac{1}{p}

jest liczbą skończoną. Przestrzeń p(Γ) jest unormowana, przy czym norma zadana jest powyższym wzorem, a ponieważ jako przestrzeń metryczna jest zupełna, to jest ona przestrzenią Banacha. Przestrzenie p(Γ) są refleksywne wtedy i tylko wtedy, gdy p ∈ (1, ∞). Niech p ∈ [1, ∞) oraz niech q będzie wykładnikem sprzężonym do p. Istnieje wówczas izometryczny izomorfizm

\bigl(\ell_p(\Gamma)\bigr)^* \cong \ell_q(\Gamma)

wprowadzany przez standardowe parowanie

\langle f, g\rangle = \sum_{i\in \Gamma}f(i)g(i),

gdzie fp(Γ) oraz gq(Γ).