Dodawanie macierzy

Niniejszy artykuł jest częścią cyklu macierze.

Niektóre typy macierzy macierz diagonalna macierz dodatnio określona macierz elementarna macierz hermitowska macierz idempotentna macierz jednostkowa macierz klatkowa macierz nieosobliwa macierz nilpotentna macierz ortogonalna macierz osobliwa macierz rzadka macierz schodkowa macierz skalarna macierz symetryczna macierz trójkątna macierz unitarna macierz wstęgowa macierz zerowa Operacje na macierzach mnożenie przez skalar dodawanie i odejmowanie mnożenie macierzy odwracanie macierzy transpozycja macierzy sprzężenie macierzy operacje elementarne macierz dopełnień algebraicznych macierz dołączona diagonalizacja postać Jordana Inne zagadnienia wyznacznik macierzy ślad macierzy widmo macierzy minor macierzy rząd macierzy wielomian charakterystyczny

edytuj ten szablon

Suma macierzy jest wykonalna dla macierzy o tych samych wymiarach. Aby dodać dwie macierze, dodajemy do siebie elementy o tych samych współrzędnych:

$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn} \end{bmatrix} =$

$= \begin{bmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & \cdots & a_{1n} + b_{1n} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} & \cdots & a_{2n} + b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} + b_{m1} & a_{m2} + b_{m2} & \cdots & a_{mn} + b_{mn} \end{bmatrix}$

Z określenia tego bezpośrednio wynika, że własności dodawania macierzy są takie same, jak własności struktury, nad którą macierz jest zbudowana - jeżeli dodawanie składowych jest łączne, to łączne jest również dodawanie macierzy itd.

W analogiczny sposób odejmujemy macierze.

Przykłady

• suma i różnica dwóch macierzy stopnia $2 \times 3$ o wyrazach rzeczywistych:

$\begin{bmatrix} 1{,}3 & 2 & 3\\ 1 & 2 & 9 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 1{,}2 & 2 & 11 \\ 3 & -4 & 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2{,}5 & 4 & 14 \\ 4 & -2 & 16 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1{,}3 & 2 & 3\\ 1 & 2 & 9 \end{bmatrix}- \begin{bmatrix} 1{,}2 & 2 & 11 \\ 3 & -4 & 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0{,}1 & 0 & -8 \\ -2 & 6 & 2 \end{bmatrix}$

• suma dwóch macierzy $3 \times 2$ o wyrazach z ciała $\mathbb Z_7$:

$\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 5 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 4 \\ 3 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 4 \\ 1 & 6 \\ 6 & 0 \end{bmatrix}$

(Informacje o ciele $\mathbb{Z}_7$ można znaleźć w tym artykule.)

• Suma macierzy

$A = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 2 \\ 6 & -5 \end{bmatrix}$ oraz $B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 5 & 5 & 0 \\ 2 & 7 & -1 \end{bmatrix}$

nie istnieje, gdyż macierze $A$ i $B$ mają różne wymiary.