Przekształcenie geometryczne

Przekształcenie, odwzorowanie geometryczne – funkcja przekształcająca jeden zbiór punktów, nazywany figurą geometryczną, w drugi zbiór punktów w przestrzeni geometrycznej (przestrzeni euklidesowej, przestrzeni rzutowej itp.). W węższym znaczeniu jest to funkcja wzajemnie jednoznaczna przeprowadzająca przestrzeń geometryczną na siebie; ta druga definicja jest stosowana dla przekształceń geometrycznych tworzących grupy przekształceń.

O ile nie jest to powiedziane wprost, zwykle w elementarnej geometrii przyjmuje się, że przekształceniem geometrycznym jest funkcja określona na całej przestrzeni euklidesowej, zaś figurami geometrycznymi są figury płaskie lub figury przestrzenne. Najczęściej przyjmuje się, że przekształcenia geometryczne są niezdegenerowane, tzn. różnowartościowe lub wzajemnie jednoznaczne.

Pojęcia, określenia i sposoby zapisu odnoszące się do funkcji często mogą być zastosowane do opisu przekształcenia geometrycznego, w szczególności stosowane są: obraz, punkt stały, odwracalność i odwrotność.

Przykład

Niech dane będą okrąg $O = o(s, r)$ i styczna z nim w punkcie $p_1$ prosta $L$ oraz punkt $q$ będący końcem średnicy wychodzącej z punktu $p_1$. Odwzorowanie $F\colon L \to O$ przekształcające. dowolny punkt $p \in L$ w różny od $q$ punkt $F(p) \in O$ wyznaczony przez przecięcie odcinka $\overline{pq}$ z okręgiem jest różnowartościowe, ale nie jest „na”. Punktem stałym $F$ jest punkt $p_1$. Punkt $q$ nie jest obrazem żadnego punktu prostej $L$.

Rodzaje

• rzut równoległy płaszczyzny na prostą (nie jest różnowartościowy).

Do najważniejszych przekształceń geometrycznych wzajemnie jednoznacznych płaszczyzny można zaliczyć:

• przesunięcie równoległe,
• symetria środkowa,
• obrót,
• symetria osiowa,
• jednokładność,
• powinowactwo osiowe,
• przekształcenie liniowe i afiniczne.