Równania Maxwella we współrzędnych krzywoliniowych

Symulacja komputerowa układu GW150914 dwóch czarnych dziur widziana przez pobliskiego obserwatora podczas ostatnich 0,33 s przed ich połączeniem. Światło idące od gwiazd znajdujących się za czarnymi dziurami jest mocno zniekształcane na skutek ekstremalnie silnego efektu soczewkowania grawitacyjnego i zniekształcania czasoprzestrzeni, która jest ciągnięta wokół obracających się czarnych dziur: dlatego gwiazdy zdają się poruszać i obracać.

Pokaz, w jaki sposób światło z odległej galaktyki jest zakrzywiane na skutek grawitacyjnego zniekształcenia czasoprzestrzeni przez inną galaktykę, która działa jak soczewka i tworzy zamiast punktu okrąg świetlny, zwany pierścieniem Einsteina.

Równania Maxwella we współrzędnych krzywoliniowych – równania Maxwella zapisane w układzie współrzędnych krzywoliniowych. Równania te opisują dynamikę pola elektromagnetycznego oraz cząstek materii poddanych oddziaływaniom tych pól. Mają szczególne zastosowanie w zakrzywionej czasoprzestrzeni, gdzie metryka w ogólności różni się od metryki płaskiej czasoprzestrzeni Minkowskiego (zmiana metryki czasoprzestrzeni według ogólnej teorii względności powstaje na skutek obecności materii i energii, i tym tłumaczy pojawianie się pola grawitacyjnego).

W zakrzywionej czasoprzestrzeni tory cząstek masowych są liniami geodezyjnymi, innymi niż tory prostoliniowe. Obecność pola elektromagnetycznego dodatkowo zmienia te tory.

Także promienie świetlne poruszają się nie po prostych euklidesowych – jak to jest w płaskiej czasoprzestrzeni – ale po tzw. liniach geodezyjnych zerowych. W silnych polach grawitacyjnych (np. w pobliżu czarnych dziur) lub po przejściu światłą na wielkich dystansach w oddziaływaniu np. z galaktykami występuje efekt zakrzywiania biegu (tzw. soczewkowanie grawitacyjne).

Równania te są uogólnieniem równań Maxwella w próżni, które zazwyczaj są formułowane w lokalnych układach współrzędnych w płaskiej czasoprzestrzeni. Jednakże ogólna teoria względności wskazuje, iż obecność pola elektromagnetycznego (lub energii i materii w ogólności) powoduje zmianę metryk, równania Maxwella w płaskiej czasoprzestrzeni powinny być rozumiane jako przybliżenie.

W opisie zjawisk elektromagnetycznych w obecności materii zazwyczaj odróżnia się ładunki związane i swobodne. Bez tego odróżnienia równania Maxwella w próżni nazywa się „mikroskopowymi”, a gdy robi się to odróżnienie, to równania te nazywa się „makroskopowymi”.

Równania Maxwella są niezmiennicze, tzn. ich postać nie zależy od tensora metrycznego, a więc są identyczne w płaskiej czasoprzestrzeni (opisanej tensorem metrycznym Minkowskiego), jak i zakrzywionej czasoprzestrzeni (np. w pobliżu masywnego obiektu, gdzie obowiązuje metryka Schwarzschilda), jak również nie zależą od przyjętego układu współrzędnych krzywoliniowych (np. część przestrzenną czasoprzestrzeni można przedstawić zarówno we współrzędnych prostokątnych, czyli kartezjańskich, sferycznych, jak i dowolnych współrzędnych krzywoliniowych).

Z powyższych względów równania Maxwella w czasoprzestrzeni Minkowskiego trzeba rozumieć jako szczególny przypadek równań podanych dla współrzędnych krzywoliniowych.

Tensor pola elektromagnetycznego

Równania pola elektromagnetycznego zapisane w szczególnej teorii względności łatwo uogólnić tak, by były słuszne w dowolnym czterowymiarowym układzie współrzędnych, a więc z dowolnym tensorem metrycznym – ogólność ta obejmuje zarówno zapis równań w dowolnych współrzędnych krzywoliniowych, jak i w przypadku, gdy występuje pole grawitacyjne.

Tensor pola elektromagnetycznego w szczególnej teorii względności jest równy

$F_{\mu \nu }={\frac {\partial A_{\mu }}{\partial x^{\nu }}}-{\frac {\partial A_{\nu }}{\partial x^{\mu }}},$

gdzie $A$ jest czteropotencjałem pola elektromagnetycznego. Zgodnie z ogólną zasadą przy przejściu ze współrzędnych kartezjańskich do krzywoliniowych pochodne cząstkowe przechodzą na pochodne kowariantne; stąd mamy $F_{\mu \nu }=A_{\mu ;\nu }-A_{\nu ;\mu }.$

Jednak człony zawierające symbole Christoffela kasują się i otrzymuje się wyrażenia identyczne jak we współrzędnych kartezjańskich, czyli

$F_{\mu \nu }=A_{\mu ;\nu }-A_{\nu ;\mu }={\frac {\partial A_{\mu }}{\partial x^{\nu }}}-{\frac {\partial A_{\nu }}{\partial x^{\mu }}}.$

Pierwsza para równań Maxwella

W konsekwencji pierwsza para równań Maxwella nie zmienia postaci

$\partial _{i}F_{jk}+\partial _{j}F_{ki}+\partial _{k}F_{ij}=0.$

Równanie to zawiera prawo indukcji Faradaya oraz prawo Gaussa dla elektromagnetyzmu. Wstawiając potencjały pole mamy

$\partial _{i}\partial _{j}A_{k}-\partial _{i}\partial _{k}A_{j}+\partial _{j}\partial _{k}A_{i}-\partial _{j}\partial _{i}A_{k}+\partial _{k}\partial _{i}A_{j}-\partial _{k}\partial _{j}A_{i}=0.$

Czterowektor gęstości prądu

Jeżeli w przestrzeni znajduje się pewien rozkład cząstek naładowanych, który można uśrednić i traktować jako ciągły, to można wprowadzić pojęcie czterowektora gęstości prądu w danym punkcie, związanego z poruszającymi się ładunkami

$j^{a}=\rho {\frac {\partial x^{a}}{\partial t}}=\left(\rho c,\rho {\vec {v}}\right),$

gdzie $\rho =\gamma \,\rho _{0}$ – relatywistyczna gęstość ładunku, przy czym:

• $\rho _{0}$ – gęstość ładunku nieruchomego w infinitezymalnym otoczeniu danego punktu,
• $\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},$
• ${\vec {v}}=(v_{x},v_{y},v_{z})$ – prędkość ładunków względem obserwatora.

Druga para równań Maxwella

Druga para równań Maxwella ma w układzie kartezjańskim postać

${\frac {\partial F^{ai}}{\partial x^{i}}}=-{\frac {4\pi }{c}}j^{a}.$

Przejście do współrzędnych krzywoliniowych wymaga jedynie zmiany pochodnych cząstkowych na pochodne kowariantne

$F_{\,\,\,\,;i}^{ai}=-{\frac {4\pi }{c}}j^{a}.$

Powyższe wyrażenie zawiera dywergencję we współrzędnych krzywoliniowych; tensor $F^{ai}$ jest antysymetryczny; dywergencja tensora antysymetrycznego ma postać (por. dywergencja kowariantna)

$\operatorname {div} (F)\equiv F_{\,\,\,\,\,;i}^{ai}={\frac {1}{\sqrt {|g|}}}{\frac {\partial \left({\sqrt {|g|}}\,F^{ai}\right)}{\partial x^{i}}},$

gdzie:

$|g|$ – moduł wyznacznika tensora metrycznego współrzędnych krzywoliniowych w danym punkcie.

Stąd druga para równań Maxwella przyjmuje postać

${\frac {1}{\sqrt {|g|}}}{\frac {\partial \left({\sqrt {|g|}}\,F^{ai}\right)}{\partial x^{i}}}=-{\frac {4\pi }{c}}j^{a}.$

Równanie ruchu cząstki

(1) Równanie ruchu cząstki swobodnej w płaskiej czasoprzestrzeni: cząstka nie podlega oddziaływaniom i jej przyspieszenie jest zerowe, tj.

$\mathrm {d} u^{a}/\mathrm {d} s=0,$

gdzie $u^{a}$ – czteroprędkość cząstki, $\mathrm {d} s$ – różniczkowy przyrost tzw. interwału czasoprzestrzennego mierzony wzdłuż trajektorii cząstki; równoważnie można zapisać, że różniczka 4-prędkości cząstki zeruje się, tj.

$\mathrm {d} u^{a}=0.$

(2) Równanie ruchu cząstki swobodnej w zakrzywionej czasoprzestrzeni

Przechodząc do układu współrzędnych krzywoliniowych równanie ruchu cząstki nie podlegającej oddziaływaniom należy zmodyfikować zamieniając różniczkę zupełną na różniczkę absolutną, tj.

$\mathrm {D} u^{a}=0.$

Różniczka absolutna wektora kowariantnego dana jest zależnością

$\mathrm {D} u^{a}=\left({\frac {\partial u^{a}}{\partial x^{l}}}+\Gamma _{kl}^{a}u^{k}\right)\mathrm {d} q^{l}$

lub

$\mathrm {D} u^{a}=\mathrm {d} u^{a}+\Gamma _{kl}^{a}u^{k}\mathrm {d} x^{l},$

gdzie:

$\mathrm {d} u^{a}={\frac {\partial u^{a}}{\partial x^{l}}}\mathrm {d} x^{l}$ – różniczka 4-prędkości cząstki.

Stąd mamy równanie ruchu cząstki w układzie krzywoliniowym

$\mathrm {d} u^{a}+\Gamma _{kl}^{a}u^{k}\mathrm {d} x^{l}=0.$

Dzieląc przez $\mathrm {d} s$ i uwzględniając, że $\mathrm {d} u^{a}=\mathrm {d} x^{a}/\mathrm {d} s,$ znajdujemy

${\frac {\mathrm {d} ^{2}x^{a}}{\mathrm {d} s^{2}}}+\Gamma _{kl}^{a}{\frac {\mathrm {d} x^{k}}{\mathrm {d} s}}{\frac {\mathrm {d} x^{l}}{\mathrm {d} s}}=0.$

Jest to równanie linii geodezyjnej w przestrzeni z metryką $g_{ij}$ (od której zależą m.in. symbole Christoffela $\Gamma _{kl}^{a}$). Przy tym, jeżeli przestrzeń jest pozbawiona źródeł pola grawitacyjnego, to symbole Christoffela $\Gamma _{kl}^{a}$ są takie, że zerują tensor krzywizny i równania geodezyjnych sprowadzają się do prostych euklidesowych; jeżeli jednak przestrzeń jest zakrzywiona na skutek obecności materii, to tensor krzywizny jest niezerowy, a geodezyjne są inne niż proste euklidesowe.

(3) Równanie ruchu cząstki w płaskiej czasoprzestrzeni w polu elektromagnetycznym

Cząstka podlega oddziaływaniom z polem elektromagnetycznym i jej przyspieszenie jest zerowe, tj.

$mc{\frac {\mathrm {d} u^{a}}{\mathrm {d} s}}={\frac {e}{c}}F^{ik}u_{k}.$

(4) Równanie ruchu cząstki w zakrzywionej czasoprzestrzeni w polu elektromagnetycznym

Zmieniamy pochodną zupełną $\mathrm {d} u^{a}/\mathrm {d} s$ na pochodną absolutną $\mathrm {D} u^{a}/\mathrm {d} s$

$mc{\frac {\mathrm {D} u^{a}}{\mathrm {d} s}}={\frac {e}{c}}F^{ik}u_{k},$

czyli

$mc\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}x^{a}}{\mathrm {d} s^{2}}}+\Gamma _{kl}^{a}{\frac {\mathrm {d} x^{k}}{\mathrm {d} s}}{\frac {\mathrm {d} x^{l}}{\mathrm {d} s}}\right)={\frac {e}{c}}F^{ak}u_{k}.$

Jest to równanie na trajektorię cząstki o ładunku $e,$ masie $m,$ poruszającej się w polu elektromagnetycznym $F^{ik}$ i w polu grawitacyjnym zadanym metryką $g_{ij}$ (od której zależą m.in. symbole Christoffela $\Gamma _{kl}^{a}$). Gdyby pole elektromagnetyczne było zerowe lub bardzo słabe, to cząstka poruszałaby się po linii geodezyjnej właściwej dla zakrzywionej czasoprzestrzeni. Obecność pola modyfikuje ten tor.

Zobacz też

• ogólna teoria względności
• równania Maxwella
• tensorowe równania Maxwella
• wyprowadzenie rozwiązania Schwarzschilda

Wiadomości z matematyki

• pochodna kowariantna
• współrzędne krzywoliniowe

Bibliografia

• L.D. Landau, E.M. Lifszyc: Teoria pola. Warszawa: PWN, 2009.