Transformata Z

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Transformata Z (transformata Laurenta) jest odpowiednikiem transformaty Laplace'a stosowanym do opisu i analizy układów dyskretnych.

Rys historyczny[edytuj | edytuj kod]

Zasadnicza idea transformaty znanej dziś jako transformata Z była znana jeszcze przez Pierre Simon de Laplace'a. W 1947 roku transformatę wprowadził ponownie Witold Hurewicz jako dogodną metodę rozwiązywania liniowych równań różniczkowych o stałych współczynnikach. W 1952 roku John Ragazzini i Lofti Zadeh pracując z zagdanieniami układów dyskretnych w zespole na Columbia University nadali jej nazwę transformaty Z.

Nazwa transformata Z może pochodzić od litery "z" jako dyskretnej wersji litery "s" często używanej jako zmienna niezależna w transformacie Laplace'a co wydaje się zasadne jako, że transfomata Z jest w istocie dyskretną wersją transformaty Laplace'a. Inne możliwe pochodzenie to litery "z" w nazwiskach badaczy (Ragazzini, Zadeh) którzy opublikowali fundamentalny artykuł na jej temat. Tym niemniej nazwa odbiega od powszechie przyjętej konwencji praktykowanej w świecie nauki by do metod lub twierdzeń stosować nazwy związane z ich pierwszymi badaczami (na przykład transformata Fouriera, transformata Laplace'a, transformata Hartley'a, itp).

Nieco później E.I. Jury wprowadził i spopularyzował zmodyfikowaną transformatę Z.

Idea zawarta w transformacie Z w literaturze matematycznej znana jest jako metoda funkcji tworzących, która to datuje się na rok 1730 kiedy to została wprowadzona przez Abrahama de Moivre w powiązaniu z teorią prawdopodobieństwa.

Z matematycznego punktu widzenia transformatę Z można także traktować jako szereg Laurenta gdzie występuje szereg liczb jako rozwinięcie (Laurenta) funkcji analitycznej.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Transformatą Z dyskretnej (impulsowej) funkcji czasu f^\ast(t) jest nazywana funkcja

Z[f^\ast(t)] = Z[f(kT)] = F(z)

określona wzorem

F(z) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} f(kT) z^{-k},

gdzie: F(z)\, – transformata oryginału; f(kT)\, – oryginał dyskretny; k=1, 2, \ldots.

Transformaty Z istnieją dla funkcji dyskretnych, które nie rosną szybciej niż funkcja wykładnicza, np. dla funkcji f(k) = k!\, lub f(k) = e^{ak^2} (a > 0) nie istnieją transformaty Z, ponieważ nie spełniają one powyższego warunku.

Właściwości[edytuj | edytuj kod]

  • Liniowość:
Z[af_{1}(kT) + bf_{2}(kT)] = aF_{1}(z) + bF_{2}(z)\,
  • Przesunięcie w dziedzinie czasu:
Z[f(kT+mT) \cdot 1(kT)] = z^m \left[ F(z) - \sum_{n=0}^{m-1} f(nT) z^{-n} \right]

gdzie m\, – dowolna dodatnia liczba całkowita; 1(kT)\,funkcja skokowa.

  • Transformata sumy:
Z\left[\ \sum_{n=0}^{m-1}\ f(nT)\right] = \frac{z}{z-1} F(z)
  • Transformata różnicy
Z[f((k+1)T) - f(kT)] = (z-1) F(z) - zf(0)\,
  • Splot
Z[f_{1}(n) * f_{2}(n)]=Z[f_{1}(0)\cdot f_{2}(n)+\ldots+f_{1}(k)\cdot f_{2}(n-k)+\ldots+f_{1}(n) \cdot f_{2}(0)]=F_{1}(z) \cdot F_{2}(z)
  • Twierdzenie o wartości początkowej:
\lim_{k \rightarrow 0^{+}} f(kT) = \lim_{z \rightarrow \infty} F(z)
  • Twierdzenie o wartości końcowej:
Jeśli istnieje granica, \lim_{k \rightarrow \infty} f(kT), to ma ona wartość
f_{\infty} = \lim_{z \rightarrow 1} \frac{z-1}{z} F(z).

Tabela transformat[edytuj | edytuj kod]

W poniższej tabeli przyjęto, że:

  • u(n) = \begin{cases} 1, & n \ge 0 \\ 0, & n < 0 \end{cases}
  • \delta(n) = \begin{cases} 1, & n = 0 \\ 0, & n \ne 0 \end{cases}
  x(n) transformata-Z, X(z) obszar zbieżności
1 \delta(n)\, 1\,  z \in \R\,
2 u(n)\,  \frac{1}{1-z^{-1}} |z| > 1\,
3 a^n u(n)\,  \frac{1}{1-a z^{-1}}  |z| > |a|\,
4 n a^n u(n)\,  \frac{az^{-1} }{ (1-a z^{-1})^2 } |z| > |a|\,
5 -a^n u(-n-1)\,  \frac{1}{1-a z^{-1}}  |z| < |a|\,
6 -n a^n u(-n-1)\,  \frac{az^{-1} }{ (1-a z^{-1})^2 }  |z| < |a|\,
7 \cos(\omega_0 n) u(n) \,  \frac{ 1-z^{-1} \cos(\omega_0) }{ 1-2z^{-1}\cos(\omega_0)+ z^{-2} }  |z| >1\,
8 \sin(\omega_0 n) u(n) \,  \frac{ z^{-1} \sin(\omega_0) }{ 1-2z^{-1}\cos(\omega_0)+ z^{-2} }  |z| >1\,
9 a^n \cos(\omega_0 n) u(n) \,  \frac{ 1-a z^{-1} \cos( \omega_0) }{ 1-2az^{-1}\cos(\omega_0)+ a^2 z^{-2} }  |z| > |a|\,
10 a^n \sin(\omega_0 n) u(n) \,  \frac{ az^{-1} \sin(\omega_0) }{ 1-2az^{-1}\cos(\omega_0)+ a^2 z^{-2} }  |z| > |a|\,

Powiązanie z transformatą Fouriera[edytuj | edytuj kod]

Transformata Z stanowi uogólnienie dyskretnej transformaty Fouriera. Dyskretna transformata Fouriera może być określona przez określenie wartości transformaty Z

X(z)\, dla z=e^{j\omega}\,

lub innymi słowy określenie jej wartości na okręgu jednostkowym. Aby określić charakterystykę częstotliwościową układu wartość transformaty Z musi być określona na okręgu jednostkowym, co oznacza, że obszar zbieżności układu musi zawierać okrąg jednostkowy. W przeciwnym przypadku dyskretna transformata Fouriera nie istnieje.

Powiązanie z transformatą Laplace'a[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: Metoda Tustina.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]