Transformata Z

Transformata Z (transformata Laurenta) jest odpowiednikiem transformaty Laplace'a stosowanym do opisu i analizy układów dyskretnych.

Rys historyczny

Zasadnicza idea transformaty znanej dziś jako transformata Z była znana jeszcze przez Pierre Simon de Laplace'a. W 1947 roku transformatę wprowadził ponownie Witold Hurewicz jako dogodną metodę rozwiązywania liniowych równań różniczkowych o stałych współczynnikach. W 1952 roku John Ragazzini i Lofti Zadeh pracując z zagdanieniami układów dyskretnych w zespole na Columbia University nadali jej nazwę transformaty Z.

Nazwa transformata Z może pochodzić od litery "z" jako dyskretnej wersji litery "s" często używanej jako zmienna niezależna w transformacie Laplace'a co wydaje się zasadne jako, że transfomata Z jest w istocie dyskretną wersją transformaty Laplace'a. Inne możliwe pochodzenie to litery "z" w nazwiskach badaczy (Ragazzini, Zadeh) którzy opublikowali fundamentalny artykuł na jej temat. Tym niemniej nazwa odbiega od powszechie przyjętej konwencji praktykowanej w świecie nauki by do metod lub twierdzeń stosować nazwy związane z ich pierwszymi badaczami (na przykład transformata Fouriera, transformata Laplace'a, transformata Hartley'a, itp).

Nieco później E.I. Jury wprowadził i spopularyzował zmodyfikowaną transformatę Z.

Idea zawarta w transformacie Z w literaturze matematycznej znana jest jako metoda funkcji tworzących, która to datuje się na rok 1730 kiedy to została wprowadzona przez Abrahama de Moivre w powiązaniu z teorią prawdopodobieństwa.

Z matematycznego punktu widzenia transformatę Z można także traktować jako szereg Laurenta gdzie występuje szereg liczb jako rozwinięcie (Laurenta) funkcji analitycznej.

Definicja

Transformatą Z dyskretnej (impulsowej) funkcji czasu $f^\ast(t)$ jest nazywana funkcja

$Z[f^\ast(t)] = Z[f(kT)] = F(z)$

określona wzorem

$F(z) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} f(kT) z^{-k}$,

gdzie: $F(z)\,$ – transformata oryginału; $f(kT)\,$ – oryginał dyskretny; $k=1, 2, \ldots$.

Transformaty Z istnieją dla funkcji dyskretnych, które nie rosną szybciej niż funkcja wykładnicza, np. dla funkcji $f(k) = k!\,$ lub $f(k) = e^{ak^2} (a > 0)$ nie istnieją transformaty Z, ponieważ nie spełniają one powyższego warunku.

Właściwości

• Liniowość:

$Z[af_{1}(kT) + bf_{2}(kT)] = aF_{1}(z) + bF_{2}(z)\,$

• Przesunięcie w dziedzinie czasu:

$Z[f(kT+mT) \cdot 1(kT)] = z^m \left[ F(z) - \sum_{n=0}^{m-1} f(nT) z^{-n} \right]$

gdzie $m\,$ – dowolna dodatnia liczba całkowita; $1(kT)\,$ – funkcja skokowa.

• Transformata sumy:

$Z\left[\ \sum_{n=0}^{m-1}\ f(nT)\right] = \frac{z}{z-1} F(z)$

• Transformata różnicy

$Z[f((k+1)T) - f(kT)] = (z-1) F(z) - zf(0)\,$

• Splot

$Z[f_{1}(n) * f_{2}(n)]=Z[f_{1}(0)\cdot f_{2}(n)+\ldots+f_{1}(k)\cdot f_{2}(n-k)+\ldots+f_{1}(n) \cdot f_{2}(0)]=F_{1}(z) \cdot F_{2}(z)$

• Twierdzenie o wartości początkowej:

$\lim_{k \rightarrow 0^{+}} f(kT) = \lim_{z \rightarrow \infty} F(z)$

• Twierdzenie o wartości końcowej:

Jeśli istnieje granica, $\lim_{k \rightarrow \infty} f(kT)$, to ma ona wartość

$f_{\infty} = \lim_{z \rightarrow 1} \frac{z-1}{z} F(z)$.

Tabela transformat

W poniższej tabeli przyjęto, że:

• $u(n) = \begin{cases} 1, & n \ge 0 \\ 0, & n < 0 \end{cases}$
• $\delta(n) = \begin{cases} 1, & n = 0 \\ 0, & n \ne 0 \end{cases}$

	$x(n)$	transformata-Z, $X(z)$	obszar zbieżności
1	$\delta(n)\,$	$1\,$	$z \in \R\,$
2	$u(n)\,$	$\frac{1}{1-z^{-1}}$	$|z| > 1\,$
3	$a^n u(n)\,$	$\frac{1}{1-a z^{-1}}$	$|z| > |a|\,$
4	$n a^n u(n)\,$	$\frac{az^{-1} }{ (1-a z^{-1})^2 }$	$|z| > |a|\,$
5	$-a^n u(-n-1)\,$	$\frac{1}{1-a z^{-1}}$	$|z| < |a|\,$
6	$-n a^n u(-n-1)\,$	$\frac{az^{-1} }{ (1-a z^{-1})^2 }$	$|z| < |a|\,$
7	$\cos(\omega_0 n) u(n) \,$	$\frac{ 1-z^{-1} \cos(\omega_0) }{ 1-2z^{-1}\cos(\omega_0)+ z^{-2} }$	$|z| >1\,$
8	$\sin(\omega_0 n) u(n) \,$	$\frac{ z^{-1} \sin(\omega_0) }{ 1-2z^{-1}\cos(\omega_0)+ z^{-2} }$	$|z| >1\,$
9	$a^n \cos(\omega_0 n) u(n) \,$	$\frac{ 1-a z^{-1} \cos( \omega_0) }{ 1-2az^{-1}\cos(\omega_0)+ a^2 z^{-2} }$	$|z| > |a|\,$
10	$a^n \sin(\omega_0 n) u(n) \,$	$\frac{ az^{-1} \sin(\omega_0) }{ 1-2az^{-1}\cos(\omega_0)+ a^2 z^{-2} }$	$|z| > |a|\,$

Powiązanie z transformatą Fouriera

Transformata Z stanowi uogólnienie dyskretnej transformaty Fouriera. Dyskretna transformata Fouriera może być określona przez określenie wartości transformaty Z

$X(z)\,$ dla $z=e^{j\omega}\,$

lub innymi słowy określenie jej wartości na okręgu jednostkowym. Aby określić charakterystykę częstotliwościową układu wartość transformaty Z musi być określona na okręgu jednostkowym, co oznacza, że obszar zbieżności układu musi zawierać okrąg jednostkowy. W przeciwnym przypadku dyskretna transformata Fouriera nie istnieje.

Zobacz też

• zmodyfikowana transformata Z
• transformata z gwiazdką