Twierdzenie Baire'a

Twierdzenie Baire'a - w przestrzeni zupełnej X przeliczalna suma

$E\ =\ F_1 \cup F_2 \cup \cdots \cup F_k \cup \cdots$

domkniętych zbiorów nigdziegęstych jest zbiorem brzegowym (a więc, m.in. nie może wypełniać całej przestrzeni).

Równoważnie: Przekrój przeliczalnej rodziny gęstych zbiorów otwartych jest gęsty.

Równoważnie: W przestrzeni zupełnej $<X,d>$ każdy zbiór I kategorii jest brzegowy.

Dowód: Niech A będzie zbiorem I kategorii, czyli $A=\bigcup\limits_n A_{n}$ gdzie $A_{n}$ jest nigdziegęsty dla dowolnego $n \in \mathbb{N}$. Pokażemy, że $A$ jest brzegowy, czyli $\overline{X\backslash A}=X$. Niech $K_{0}$ będzie dowlną kulą otwartą. Udowodnimy, że $K_{0}\cap(X\backslash A)\not=\emptyset$. Skoro $A_{1}$ jest nigdziegęsty, to istnieje kula $K_{1}\subset K_{0}$, że $K_{1} \cap A_{1} = \emptyset$. Możemy przyjąć, że $K_{1}$ jest kulą domkniętą oraz δ$(K_{1})<1$ (gdzie δ oznacza średnicę zbioru). Następnie, w kuli $K_{1}$ znajdziemy kulę domkniętą $K_{2}$, że $K_{2} \cap A_{2} =\emptyset$ i δ$(K_{2})<\frac {1}{2}$. Indukcyjnie, znajdziemy ciąg kul domkniętych $\{K\}_{n}$ taki, że: dla dowolnego $n \in \mathbb{N}$ mamy: $K_{n} \cap A_{n} =\emptyset$ , $K_{n+1} \subset K_{n}$ , δ$(K_{n})< \frac {1}{n}$. Z twierdzenia Cantora, mamy: $\bigcap\limits_n K_{n} \not= \emptyset$. Zatem: $\emptyset \not= \bigcap\limits_n K_{n} \subset \bigcap\limits_n (X\backslash A_{n})= X\backslash \bigcup\limits_n A_{n} = X\backslash A$ oraz: $\bigcap\limits_n K_{n} \subset K_{0}$ więc: $\bigcap\limits_n K_{n} \subset K_{0}\cap (X\backslash A) \not= \emptyset$.

Zobacz też

• Przestrzeń Baire'a