Zbiór nigdziegęsty

W topologii zbiór $A$ przestrzeni $(X, \tau)$ nazywamy zbiorem nigdziegęstym wtedy i tylko wtedy, gdy wnętrze domknięcia tego zbioru jest puste:

$\operatorname{int}\;\operatorname{cl}\;A = \emptyset$.

Inaczej mówiąc zbiór ten nie jest gęsty w żadnym otwartym podzbiorze przestrzeni $X$.

Definicja

Zbiór $A\subseteq X$ jest nigdziegęsty w $X$ wtedy i tylko wtedy, gdy w każdym niepustym zbiorze otwartym $U$ można znaleźć niepusty podzbiór otwarty $V$, rozłączny z $A$ (tj. $V\subseteq U\setminus A$).

Własności

• Rodzina ${\rm NWD}(X)$ wszystkich nigdziegęstych podzbiorów $X$ tworzy właściwy ideał podzbiorów $X$, tzn

jeśli $A,B\in {\rm NWD}(X)$, to $A\cup B\in {\rm NWD}(X)$, oraz

jeśli $A\in {\rm NWD}(X)$ i $B\subseteq A$, to $B\in {\rm NWD}(X)$, oraz

$X\notin {\rm NWD}(X)$.

• Przeliczalna suma zbiorów nigdziegęstych nie musi być nigdziegęsta: liczby wymierne są przeliczalną sumą jednoelementowych nigdziegęstych podzbiorów prostej rzeczywistej, a tworzą one gęsty podzbiór prostej.
• Jeśli $A\subseteq Y\subseteq X$ i $A$ jest nigdziegęsty w $Y$ (tzn $A\in {\rm NWD}(Y)$ gdy $Y$ jest wyposażone w topologię podprzestrzeni), to $A\in {\rm NWD}(X)$.
• Załóżmy, że $A\subseteq Y\subseteq X$ oraz albo $Y$ jest gęstym podzbiorem $X$ lub $Y$ jest otwarty w $X$. Wówczas $A\in {\rm NWD}(X)$ wtedy i tylko wtedy gdy $A\in {\rm NWD}(Y)$.

Przykłady

• Każdy skończony podzbiór prostej jest nigdziegęsty.
• Klasyczny zbiór Cantora jest nigdziegęstym podzbiorem prostej rzeczywistej. Każdy podzbiór prostej który jest homeomorficzny ze zbiorem Cantora jest nigdziegęsty (w ${\mathbb R}$).
• Istnieją nigdziegęste domknięte podzbiory ${\mathbb R}$ które mają dodatnią miarę Lebesgue'a, np zbiór Cantora otrzymany przez wyrzucanie na kroku $n$ odcinków długości $5^{-n}$.

Uogólnienia

$s_0$-zbiory

Motywowany przez charakteryzację podaną w lemacie, polski matematyk Edward Marczewski wprowadził w 1935 pojęcie $(s_0)$-zbiorów.

Powiemy, że podzbiór $A$ prostej rzeczywistej $\mathbb R$ jest $(s_0)$-zbiorem Marczewskiego, jeśli dla każdego doskonałego zbioru $P \subseteq \mathbb R$ można znaleźć jego doskonały podzbiór rozłączny z $A$.

Zbiory $(s_0)$ tworzą $\sigma$-ideał podzbiorów $\mathbb R$.

Zbiory $\mathcal A$-nigdziegęste

W drugiej połowie XX w. wprowadzono wspólne uogólnienie pojęcia zbiorów $(s_0)$ i zbiorów nigdziegęstych. Schemat tego uogólnienia może być przedstawiony w sposób następujący.

Niech $\mathcal A$ będzie pewną rodziną niepustych podzbiorów przestrzeni $X$. Powiemy, że zbiór $A\subseteq X$ jest $\mathcal A$-nigdziegęsty jeśli każdy element $U\in {\mathcal A}$ zawiera podzbiór $V\in {\mathcal A}$ rozłączny z $A$.

Jeśli ${\mathcal A}$ jest rodziną niepustych otwartych podzbiorów $X$, to powyższa definicja określa nigdziegęste podzbiory $X$. Jeżeli $\mathcal A$ jest rodziną zbiorów doskonałych, zaś $X=\mathbb R$, to otrzymujemy z kolei $(s_0)$-zbiory Marczewskiego.

W literaturze matematycznej można spotkać też inne przykłady rodzin ${\mathcal A}$ używanych w tym kontekście, niektóre z tych rodzin są związane z forsingami drzewiastymi.

Zobacz też

• zbiór pierwszej kategorii
• ideały w teorii mnogości