Zbiór nigdziegęsty

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

W topologii zbiór A przestrzeni (X, \tau) nazywamy zbiorem nigdziegęstym wtedy i tylko wtedy, gdy wnętrze domknięcia tego zbioru jest puste:

\operatorname{int}\;\operatorname{cl}\;A = \emptyset.

Inaczej mówiąc zbiór ten nie jest gęsty w żadnym otwartym podzbiorze przestrzeni X.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Zbiór A\subseteq X jest nigdziegęsty w X wtedy i tylko wtedy, gdy w każdym niepustym zbiorze otwartym U można znaleźć niepusty podzbiór otwarty V, rozłączny z A (tj. V\subseteq U\setminus A).

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Rodzina {\rm NWD}(X) wszystkich nigdziegęstych podzbiorów X tworzy właściwy ideał podzbiorów X, tzn
jeśli A,B\in {\rm NWD}(X), to A\cup B\in {\rm NWD}(X), oraz
jeśli A\in {\rm NWD}(X) i B\subseteq A, to B\in {\rm NWD}(X), oraz
X\notin  {\rm NWD}(X).
  • Przeliczalna suma zbiorów nigdziegęstych nie musi być nigdziegęsta: liczby wymierne są przeliczalną sumą jednoelementowych nigdziegęstych podzbiorów prostej rzeczywistej, a tworzą one gęsty podzbiór prostej.
  • Jeśli A\subseteq Y\subseteq X i A jest nigdziegęsty w Y (tzn A\in {\rm NWD}(Y) gdy Y jest wyposażone w topologię podprzestrzeni), to A\in {\rm NWD}(X).
  • Załóżmy, że A\subseteq Y\subseteq X oraz albo Y jest gęstym podzbiorem X lub Y jest otwarty w X. Wówczas A\in {\rm NWD}(X) wtedy i tylko wtedy gdy A\in {\rm NWD}(Y).

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Każdy skończony podzbiór prostej jest nigdziegęsty.
  • Klasyczny zbiór Cantora jest nigdziegęstym podzbiorem prostej rzeczywistej. Każdy podzbiór prostej który jest homeomorficzny ze zbiorem Cantora jest nigdziegęsty (w {\mathbb R}).
  • Istnieją nigdziegęste domknięte podzbiory {\mathbb R} które mają dodatnią miarę Lebesgue'a, np zbiór Cantora otrzymany przez wyrzucanie na kroku n odcinków długości 5^{-n}.

Uogólnienia[edytuj | edytuj kod]

s_0-zbiory[edytuj | edytuj kod]

Motywowany przez charakteryzację podaną w lemacie, polski matematyk Edward Marczewski wprowadził w 1935 pojęcie (s_0)-zbiorów.

Powiemy, że podzbiór A prostej rzeczywistej \mathbb R jest (s_0)-zbiorem Marczewskiego, jeśli dla każdego doskonałego zbioru P \subseteq \mathbb R można znaleźć jego doskonały podzbiór rozłączny z A.

Zbiory (s_0) tworzą \sigma-ideał podzbiorów \mathbb R.

Zbiory \mathcal A-nigdziegęste[edytuj | edytuj kod]

W drugiej połowie XX w. wprowadzono wspólne uogólnienie pojęcia zbiorów (s_0) i zbiorów nigdziegęstych. Schemat tego uogólnienia może być przedstawiony w sposób następujący.

Niech \mathcal A będzie pewną rodziną niepustych podzbiorów przestrzeni X. Powiemy, że zbiór A\subseteq X jest \mathcal A-nigdziegęsty jeśli każdy element U\in {\mathcal A} zawiera podzbiór V\in {\mathcal A} rozłączny z A.

Jeśli {\mathcal A} jest rodziną niepustych otwartych podzbiorów X, to powyższa definicja określa nigdziegęste podzbiory X. Jeżeli \mathcal A jest rodziną zbiorów doskonałych, zaś X=\mathbb R, to otrzymujemy z kolei (s_0)-zbiory Marczewskiego.

W literaturze matematycznej można spotkać też inne przykłady rodzin {\mathcal A} używanych w tym kontekście, niektóre z tych rodzin są związane z forsingami drzewiastymi.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]