Topologia ilorazowa

Topologia ilorazowa – dla danej przestrzeni topologicznej oraz relacji równoważności na niej określonej, najsłabsza (mająca możliwie najmniej zbiorów otwartych) topologia na przestrzeni ilorazowej względem której odwzorowanie, przyporządkowujące danemu punktowi przestrzeni jego klasę abstrakcji, jest ciągłe. Szczególne przypadki topologii ilorazowych badali po raz pierwszy Robert Lee Moore oraz Paweł Aleksandrow.

Definicja

Niech $(X, \tau)$ będzie przestrzenią topologiczną oraz $\sim$ będzie relacją równoważności w zbiorze $X$.

• Odwzorowanie $\pi\colon X\to X/_\sim$ dane wzorem $\pi(x)= [x]_\sim$ nazywamy naturalnym przekształceniem ilorazowym bądź krótko przekształceniem naturalnym.
• Rodzina

$\tau/_\sim = \{U \subseteq X/_\sim\colon \pi^{-1}(U) \in \tau\}$,

jest topologią w zbiorze $X/_\sim$, zwaną topologią ilorazową (przestrzeni $X$ względem relacji $\sim$). Zbiór $X/_\sim$ z topologią ilorazową nazywamy przestrzenią ilorazową.

Uwagi

Niech $X$ i $Y$ będą przestrzeniami topologicznymi oraz $\sim$ będzie relacją równoważności w zbiorze $X$. Wówczas

• zbiór $F$ jest domknięty w przestrzeni ilorazowej $X/_\sim$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\pi^{-1}(F)$ jest domkniętym podzbiorem $X$.
• przekształcenie $f\colon X/_\sim \to Y$ jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy złożenie $f \circ \pi\colon X \to Y$ jest ciągłe.
• jeżeli $X$ i $Y$ są przestrzeniami Hausdorffa, $g\colon X \to Y$ takim ciągłym odwzorowaniem przestrzeni X na Y, że $g(x) = g(y) \iff x \sim y$ oraz dla pewnego zbioru zwartego $K \subseteq X, \pi(K) = X/_\sim$, to odwzorowanie $f\colon X/_\sim \to Y$ dane wzorem $f(\pi(x)) = g(x)$ jest homeomorfizmem.

Przykłady

Rozważmy prostą rzeczywistą z naturalną topologią euklidesową oraz relację równoważności $\backsim$ określoną warunkiem

$a \backsim b \iff a - b \in \mathbb Z$

dla $a,b\in \mathbb{R}$. Wówczas przestrzeń ilorazowa $\mathbb R/_\backsim$ jest homeomorficzna z okręgiem jednostkowym na płaszczyźnie euklidesowej.

Rozważmy odwzorowanie $g\colon \mathbb R \to \mathcal S^1$ dane wzorem

$g(t) = (\cos 2\pi t, \sin 2\pi t)$,

i zauważmy, że

$g(a) = g(b) \iff a \sim b$

oraz $\pi([0, 1]) = \mathbb R/_\backsim$ (przekształcenie $g$ można interpetować jako nawinięcie prostej na okrąg w taki sposób, że każdy przedział $(a,b]$ taki, że $b-a=1$, nawija się na cały okrąg w sposób jednoznaczny). Na mocy ostatniej uwagi, odwzorowanie $f\colon {\mathbb R}/_\backsim \to {\mathcal S}^1$ dane wzorem $f(\pi(x)) = g(x)$ jest homeomorfizmem.

Sklejenie

Niech $X$ będzie przestrzenią topologiczną, $A \subseteq X$ oraz

$x \sim y$ wtedy i tylko wtedy, gdy $x = y$ lub $x, y \in A$

dla $x, y \in X$. Wówczas przestrzeń ilorazową $X/_\sim$ nazywa się przestrzenią otrzymaną z $X$ przez sklejenie zbioru $A$ do punktu i oznacza symbolem $X/A$.

Jeżeli $A$ jest domkniętym podzbiorem zwartej podprzestrzeni $X$ przestrzeni euklidesowej $\mathbb R^n$, to przestrzeń $X/A$ można zanurzyć w $\mathbb R^{n+1}$. Założenie zwartości jest istotne - bez tego założenia można znaleźć takie zbiory $X$ i $A$, że przestrzeń $X/A$ jest niemetryzowalna.

Zobacz też

• przekształcenie ilorazowe
• przestrzeń ilorazowa
• zrost przestrzeni topologicznych

Bibliografia

1. S. Betley, J. Chaber, E. i R. Pol, Topologia I wykłady i zadania, skrypt 2005
2. Ryszard Engelking,: Topologia ogólna. Warszawa: PWN, 1976, s. 122-123.