Topologia ilorazowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Topologia ilorazowa – w topologii, dziale matematyki, najbogatsza topologia[a] określona na zbiorze ilorazowym, wyznaczonym przez relację równoważności określoną na danej przestrzeni topologicznej, względem której odwzorowanie rzutowe[b] jest ciągłe. Szczególne przypadki topologii ilorazowych badali jako pierwsi Robert Lee Moore[1] oraz Paweł Aleksandrow[2].

Definicje[edytuj | edytuj kod]

Niech \scriptstyle (X, \tau) będzie przestrzenią topologiczną, zaś \scriptstyle \sim oznacza pewną relację równoważności określoną na \scriptstyle X. Niech \scriptstyle \pi\colon X \to X/_\sim oznacza odwzorowanie rzutowe zbioru \scriptstyle X w zbiór ilorazowy \scriptstyle X/_\sim dane wzorem \scriptstyle x \mapsto [x]_\sim nazywane też naturalnym przekształceniem ilorazowym bądź krótko przekształceniem naturalnym.

Rodzinę zbiorów

\tau/_\sim = \bigl\{U \subseteq X/_\sim\colon \pi^{-1}(U) \in \tau\bigr\},

tworzącą topologię w zbiorze \scriptstyle X/_\sim, nazywa się topologią ilorazową przestrzeni \scriptstyle (X, \tau) względem relacji \scriptstyle \sim, z kolei zbiór \scriptstyle X/_\sim z topologią ilorazową \scriptstyle \tau/_\sim nazywa się przestrzenią ilorazową \scriptstyle (X/_\sim, \tau/_\sim).

Jeżeli \scriptstyle A \subseteq X oraz relacja \scriptstyle \sim utożsamia ze sobą punkty zbioru \scriptstyle A, tzn. \scriptstyle x, y \in X jest \scriptstyle x \sim y \iff x = y \or x, y \in A, to przestrzeń ilorazową \scriptstyle X/_\sim nazywa się przestrzenią otrzymaną z \scriptstyle X przez sklejenie zbioru \scriptstyle A do punktu i oznacza symbolem \scriptstyle X/A.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Niech \scriptstyle X i \scriptstyle Y będą przestrzeniami topologicznymi oraz \scriptstyle \sim będzie relacją równoważności w zbiorze \scriptstyle X. Wówczas

Jeżeli \scriptstyle A jest domkniętym podzbiorem zwartej podprzestrzeni \scriptstyle X przestrzeni euklidesowej \scriptstyle \mathbb R^n, to przestrzeń \scriptstyle X/A można zanurzyć w \scriptstyle \mathbb R^{n+1}; bez założenia o zwartości można wskazać takie zbiory \scriptstyle X oraz \scriptstyle A, dla których przestrzeń \scriptstyle X/A jest niemetryzowalna.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Przestrzeń ilorazowa \scriptstyle \mathbb R/\mathbb Z określona na prosta rzeczywistej \scriptstyle \mathbb R (z naturalną topologią euklidesową) i rozumiana jako grupa ilorazowa grupy liczb rzeczywistych \scriptstyle \mathbb R przez podgrupę liczb całkowitych \scriptstyle \mathbb Z[c] jest tożsama z przestrzenią \scriptstyle \mathbb R/_\backsim wyznaczoną przez relację równoważności \scriptstyle \backsim zdefiniowaną dla dowolnych \scriptstyle a, b \in \mathbb R warunkiem \scriptstyle a \backsim b \iff a - b \in \mathbb Z. Jest ona homeomorficzna z okręgiem jednostkowym \scriptstyle \mathcal S^1 na płaszczyźnie euklidesowej[d].

Przestrzeń ilorazowa \scriptstyle \mathbb R/\mathbf Z określona na \scriptstyle \mathbb R (z topologią jw.) poprzez sklejenie podzbioru liczb całkowitych \scriptstyle \mathbf Z jest różna od wyżej opisanej przestrzeni \scriptstyle \mathbb R/\mathbb Z: przestrzeń ta jest homeomorficzna z nieskończonym bukietem okręgów sklejonych w pojedynczym punkcie i powstaje z wykorzystaniem relacji równoważności \scriptstyle \sim zdefiniowanej dla dowolnych \scriptstyle x, y \in \mathbb R warunkiem \scriptstyle x \sim y \iff x = y \or x, y \in \mathbf Z.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Uwagi

  1. Tj. topologia o możliwie największej ilości zbiorów otwartych.
  2. Tzn. dla ustalonej relacji równoważności odwzorowanie przyporządkowujące danemu elementowi przestrzeni klasę abstrakcji do której należy.
  3. W innym ujęciu: grupa \scriptstyle \mathbb Z działa na grupie \scriptstyle \mathbb R poprzez przesunięcia.
  4. Niech \scriptstyle g\colon \mathbb R \to \mathcal S^1 będzie dane wzorem \scriptstyle t \mapsto (\cos 2\pi t, \sin 2\pi t). Ponieważ \scriptstyle g(a) = g(b) \iff a \sim b oraz \scriptstyle \pi\displaystyle[\scriptstyle[0, 1]\displaystyle]\scriptstyle = \mathbb R/_\backsim, to odwzorowanie \scriptstyle f\colon \mathbb R/_\backsim \to \mathcal S^1 dane wzorem \scriptstyle \pi(x) = [x]_\backsim \mapsto g(x) jest homeomorfizmem (na mocy jednej z własności). Przekształcenie \scriptstyle g można interpretować jako nawinięcie prostej na okrąg (każdy przedział \scriptstyle (a, a+1] „nawija się” jednoznacznie na cały okrąg).

Przypisy

  1. Moore, Robert Lee. Concerning upper semi-continous collections of continua, Transactions of the American Mathematical Society 27 (1925), s. 414-428
  2. Александров, Павел Сергеевич. Über stetige Abbildungen kompakter Räume, Math. Ann. 96 (1927), s. 555-571

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. S. Betley, J. Chaber, E. i R. Pol, Topologia I wykłady i zadania, skrypt 2005
  2. Ryszard Engelking,: Topologia ogólna. Warszawa: PWN, 1976, s. 122-123.