Funkcje elementarne

Funkcje elementarne – różnie definiowana klasa funkcji matematycznych, określana listą funkcji podstawowych oraz działań na nich. Funkcje elementarne zwykle definiuje się w kontekście funkcji rzeczywistych zmiennej rzeczywistej, jednak można je uogólniać do funkcji zespolonych i zespolonej dziedziny, a także definiować na innych strukturach algebraicznych.

Za funkcje podstawowe – inaczej wyjściowe lub generatory – przeważnie przyjmuje się funkcje stałe, identyczność $id(x)=x$, funkcje wykładnicze, logarytmy, funkcje trygonometryczne i kołowe. Dopuszczalne działania to na ogół cztery arytmetyczne oraz złożenie funkcji; do funkcji elementarnych zalicza się tylko wyniki wykonywania ich skończoną liczbę razy. Tak określona rodzina obejmuje między innymi wielomiany, inne funkcje wymierne, pozostałe funkcje algebraiczne oraz część funkcji przestępnych jak te hiperboliczne, polowe czy rozkład normalny (Gaussa). Wielomiany i funkcje wymierne czasem wymienia się wśród funkcji podstawowych, tak jak funkcje pierwiastkowe i inne potęgowe. Takie założenia nie poszerzają jednak zakresu pojęcia, ponieważ:

• wielomiany i inne funkcje wymierne sprowadzają się do czterech działań arytmetycznych na funkcjach stałych oraz tożsamości;
• pierwiastki i inne funkcje potęgowe sprowadzają się do funkcji wykładniczej oraz logarytmu za pomocą mnożenia i złożenia, zgodnie ze wzorem:

$x^{\alpha }=\exp \ln(x^{\alpha })=\exp(\alpha \ln x)$.

Czasem definicja funkcji elementarnych jest szersza – dopuszcza się też odwracanie funkcji, co włącza do nich m.in. funkcję W Lamberta. Taka definicja pozwala zawęzić listę funkcji podstawowych, ponieważ funkcje logarytmiczne są odwrotne do wykładniczych, a kołowe – do trygonometrycznych.

Funkcje elementarne są ciągłe w każdym punkcie dziedziny. Nie muszą być różniczkowalne – przykładem jest wartość bezwzględna $|x|={\sqrt {x^{2}}}$. Mimo to z własności różniczkowania wynika, że funkcje elementarne są zamknięte ze względu na tę operację – jest to przekształcenie tego zbioru w niego samego. Nie można powiedzieć tego samego o całkowaniu – w dalszej sekcji podano przykłady funkcji elementarnych z nieelementarnymi funkcjami pierwotnymi.

Definicje

Zbiór $E$ wszystkich funkcji elementarnych konstruowany jest w następujący rekurencyjny sposób:

Niech $E_{0}$ będzie zbiorem złożonym z następujących funkcji:

• funkcji stałych postaci $f_{c}(x)=c,$ gdzie c jest liczbą rzeczywistą (w niektórych ujęciach liczbą zespoloną)
• identyczności $i(x)=x$
• funkcji trygonometrycznych
• funkcji odwrotnych do trygonometrycznych
• logarytmu

Jest to zbiór „cegiełek”, z których budowane są inne, bardziej skomplikowane funkcje.

Niech $O$ będzie zbiorem operacji dwuargumentowych (tzn. funkcji dwóch zmiennych) w zbiorze liczb rzeczywistych (w niektórych ujęciach zespolonych), do którego należy:

• dodawanie $o_{+}(x,y)=x+y$
• odejmowanie $o_{-}(x,y)=x-y$
• mnożenie $o_{\cdot }(x,y)=xy$
• dzielenie $o_{/}(x,y)={\frac {x}{y}}$
• potęgowanie $o_{exp}(x,y)=x^{y}$

Jest to zbiór ‘metod układania cegiełek’ ze zbioru $E_{0}.$

Zbiorem $E$ funkcji elementarnych nazywa się najmniejszy zbiór funkcji spełniający następujące warunki:

• $E_{0}\subset E$
• Jeśli $f,g\in E$ oraz $o\in O,$ to funkcja $x\mapsto o(f(x),g(x))$ również należy do $E.$
• Jeśli $f,g\in E,$ to złożenie $f\circ g$ również należy do $E.$

Powyższa definicja jest poprawna, to znaczy istnieje (i to dokładnie jeden) najmniejszy zbiór $E$ spełniający powyższe warunki. Konstruuje się go rekurencyjnie:

Zbiór $E_{0}$ zdefiniowany jest powyżej.

Mając zdefiniowane zbiory $E_{0},E_{1},\dots ,E_{n},$ zbiór $E_{n+1}$ definiuje się jako zbiór wszystkich funkcji jednej z postaci:

• $x\mapsto o(f(x),g(x)),$ gdzie $f,g\in E_{n}$ oraz $o\in O,$
• $f\circ g,$ gdzie $f,g\in E_{n}$

Zbiór $E$ definiuje się jako sumę zbiorów $E_{i},$ $i=0,1,2,\dots .$

Zbiór funkcji przyjmowany w pierwszym kroku rekurencji (to znaczy zbiór $E_{0}$) mógłby być nieco węższy, np. wystarczy sinus, aby odtworzyć wszystkie pozostałe funkcje trygonometryczne. Nie ma to znaczenia z punktu widzenia klasyfikacji funkcji jako elementarnych – w ten sposób zdefiniowany zbiór $E$ byłby taki sam.

Dla różnych zastosowań wprowadza się pewne modyfikacje definicji zamieszczonej powyżej. W szczególności zmianie ulega zbiór $E_{0}$ oraz $O.$ Niektórzy dopuszczają na przykład operację brania funkcji odwrotnej do funkcji już utworzonej (o ile jest to możliwe). Niekiedy dodaje się wartość bezwzględną do funkcji elementarnych. Niektórzy odrzucają operację potęgowania ze składu operacji $O.$

W teorii obliczeń stosuje się też jeszcze inne definicje funkcji elementarnych, w których na przykład dziedziną są liczby naturalne.

Funkcje nieelementarne

Udowodniono, że do funkcji elementarnych nie należą niektóre całki:

• całka eliptyczna pierwszego rodzaju

$\int {\sqrt {1-x^{4}}}dx$,

• funkcja błędu i blisko powiązana dystrybuanta standardowego rozkładu normalnego

$\Phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{0}^{x}e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}dt$,

• funkcja pierwotna funkcji sinc:

$\int {\frac {\sin x}{x}}$.

W sposób nieelementarny definiuje się:

• funkcję znaku (signum), podłogę (część całkowitą, funkcję entier, cechę), sufit, część ułamkową (mantysę), funkcję Dirichleta, funkcję Riemanna oraz piłę Weierstrassa;
• znaczną część funkcji specjalnych: funkcję dzeta Riemanna (ζ) przez szereg, funkcję gamma Eulera (Γ) – przez całkę lub iloczyn nieskończony, a funkcje Bessela – przez równanie różniczkowe.

Linki zewnętrzne

• Funkcje elementarne, wykład 2 z kursu „Analiza matematyczna 1”, wazniak.mimuw.edu.pl [dostęp 2023-05-29] – podstawowe informacje o rzeczywistych funkcjach elementarnych.