Funkcje elementarne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Funkcje elementarnefunkcje, które powstają z funkcji, takich jak: funkcja stała, identyczność , funkcje trygonometryczne i logarytm, za pomocą skończonej liczby operacji, takich jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie oraz złożenie.

Definicja[edytuj]

Zbiór wszystkich funkcji elementarnych konstruowany jest w następujący rekurencyjny sposób:

Niech będzie zbiorem złożonym z następujących funkcji:

Jest to zbiór 'cegiełek', z których budowane są inne - bardziej skomplikowane - funkcje.

Niech będzie zbiorem operacji dwuargumentowych (tzn. funkcji dwóch zmiennych) w zbiorze liczb rzeczywistych (w niektórych ujęciach zespolonych), do którego należy:

  • dodawanie
  • odejmowanie
  • mnożenie
  • dzielenie
  • potęgowanie

Jest to zbiór 'metod układania cegiełek' ze zbioru .

Zbiorem funkcji elementarnych nazywa się najmniejszy zbiór funkcji spełniający następujące warunki:

  • Jeśli oraz , to funkcja również należy do .
  • Jeśli , to złożenie również należy do .

Powyższa definicja jest poprawna, to znaczy istnieje (i to dokładnie jeden) najmniejszy zbiór spełniający powyższe warunki. Konstruuje się go rekurencyjnie:

Zbiór zdefiniowany jest powyżej. Mając zdefiniowane zbiory , zbiór definiuje się jako zbiór wszystkich funkcji jednej z postaci:

  • , gdzie oraz ,
  • , gdzie

Zbiór definiuje się jako sumę zbiorów , .

Przykłady[edytuj]

Funkcjami elementarnymi są między innymi:

oraz ich złożenia. Zatem funkcja jest funkcją elementarną.

Przykładami funkcji, nie będących funkcjami elementarnymi, są:

Uwagi[edytuj]

Zbiór funkcji przyjmowany w pierwszym kroku rekurencji (to znaczy zbiór ) mógłby być nieco węższy, np. wystarczy sinus, aby odtworzyć wszystkie pozostałe funkcje trygonometryczne. Nie ma to znaczenia z punktu widzenia klasyfikacji funkcji jako elementarnych - w ten sposób zdefiniowany zbiór byłby taki sam.

Dla różnych zastosowań wprowadza się pewne modyfikacje definicji zamieszczonej powyżej. W szczególności zmianie ulega zbiór oraz . Niektórzy dopuszczają na przykład operację brania funkcji odwrotnej do funkcji już utworzonej (o ile jest to możliwe). Niekiedy dodaje się wartość bezwzględną do funkcji elementarnych. Niektórzy odrzucają operację potęgowania ze składu operacji .

Ponadto rozważa się funkcje elementarne w zbiorze liczb rzeczywistych lub zespolonych.

W teorii obliczeń stosuje się też jeszcze inne definicje funkcji elementarnych, w których na przykład dziedziną są liczby naturalne.[1]

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. Zobacz np. [1]