Surjekcja

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Diagram przemienny ilustrujący suriekcję jako funkcję odwracalną prawostronnie

Surjekcja[1] (suriekcja[2][3], funkcja „na”) – funkcja przyjmująca jako swoje wartości wszystkie elementy przeciwdziedziny, tj. której obraz jest równy przeciwdziedzinie. Innymi słowy[potrzebny przypis]:

  • przeciwobraz zbioru niepustego jest niepusty;
  • istnieje prawostronna funkcja odwrotna: jeśli f:XY, to ∃g: fg = idY.

Termin suriekcja powstał najpóźniej w 1954 roku, kiedy pojawił się w pracy zespołu Nicolas Bourbaki[4].

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech oraz będą dowolnymi zbiorami. Funkcja odwzorowuje zbiór na zbiór wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element zbioru jest wartością funkcji w pewnym punkcie,

co oznacza się często jako lub

Warunkiem równoważnym jest pokrywanie się przeciwdziedziny z obrazem dziedziny, inaczej

Uwaga[edytuj | edytuj kod]

Wybór przeciwdziedziny decyduje o surjektywności lub jej braku. Przyjrzyjmy się następującym funkcjom:

określonej wzorem oraz
określonej wzorem

Tylko druga z powyższych funkcji jest surjekcją, mimo że są one określone tym samym wzorem.

Zauważmy ponadto, że dowolna funkcja jest surjekcją, jeśli jako zbiór przyjmiemy zbiór jej wartości.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie zmienną rzeczywistą, wówczas poniższe funkcje są suriekcjami:

  • dla na ;
  • dowolny wielomian rzeczywisty stopnia nieparzystego, rozpatrywany jako funkcja do zbioru liczb rzeczywistych – wynika to z twierdzenia Darboux o funkcjach ciągłych, do których wielomiany rzeczywiste należą;
  • dla na ;
  • ;
  • ;
  • wszelkie bijekcje.

Pisownia[edytuj | edytuj kod]

Słowo surjekcja tradycyjnie bywa pisane przez j, tę wersję jako jedyną dopuszczalną podaje słownik języka polskiego PWN[1]. Zasady pisowni polskiej w ogólnych przypadkach nakazują jednak stosowanie j po innych spółgłoskach niż c, s i z w wypadku, gdy przedrostek jest zakończony spółgłoską, a rdzeń zaczyna się od j; np. podjazd, nadjechał, zjawa czy rozjaśnić. W pozostałych wypadkach pisze się i. Z tego powodu dopuszczalna i przez niektórych stosowana jest pisownia suriekcja i iniekcja przez i[2].

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]