Miara obrazowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Miara obrazowa (ang. pushforward measure) – miara uzyskiwana poprzez przeniesienie pewnej miary z jednej przestrzeni mierzalnej do innej za pomocą funkcji mierzalnej.

Definicja formalna[edytuj]

Dla danych przestrzeni mierzalnych i funkcji mierzalnej Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): f\colon X\to Y oraz miary Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \mu\colon \mathfrak M \to [0, \infty]} miarą obrazową miary Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): \mu nazywa się miarę Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle f_*(\mu)\colon \mathfrak N \to [0, \infty]} daną wzorem

Definicja ta przenosi się mutatis mutandis na miary ze znakiem i zespolone.

Przykłady i zastosowania[edytuj]

  • Za pomocą konstrukcji miary obrazowej i miary Lebesgue'a na prostej rzeczywistej można zdefiniować naturalną „miarę Lebesgue'a” na okręgu jednostkowym (rozważanym tutaj jako podzbiór płaszczyzny zespolonej). Niech oznacza zawężenie miary Lebesgue'a do przedziału Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle [0, 2\pi]} , zaś Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle f\colon [0, 2\pi) \to \operatorname S^1} będzie bijekcją naturalną określoną wzorem Wspomniana naturalna „miara Lebesgue'a” na jest wtedy miarą obrazową która może być także nazywana „miarą długości łuku” lub „miarą kątową”, ponieważ miara Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle f_*(\ell)} łuku jest istotnie długością łuku (lub równoważnie miarą kąta środkowego wyznaczaną przez ten łuk).
  • Poprzedni przykład łatwo rozszerza się do naturalnej „miary Lebesgue'a” na Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): n -wymiarowym torusie Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \operatorname T^n,} przy czym jest on przypadkiem szczególnym zagadnienia z torusem, gdyż Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \operatorname S^1 = T^1.} Wspomniana miara Lebesgue'a na Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://pl.wikipedia.org/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle \operatorname {T} ^{n}} jest, z dokładnością do normalizacji, miarą Haara na zwartej, spójnej grupie Liego
  • Miary gaussowskie na nieskończeniewymiarowych przestrzeniach liniowych określa się za pomocą miary obrazowej i standardowej miary Gaussa na prostej rzeczywistej: miarę borelowską na ośrodkowej przestrzeni Banacha nazywa się gaussowską, jeżeli miara obrazowa Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): \gamma dowolnego niezerowego funkcjonału liniowego z ciągłej przestrzeni sprzężonej w Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): X jest miarą Gaussa na Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\mathbb R}^{n}.
  • Niech dana będzie funkcja mierzalna Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): f\colon X\to X oraz -krotne złożenie Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://pl.wikipedia.org/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle f:}
Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://pl.wikipedia.org/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Server problem.”): {\displaystyle f^{(n)}=\underbrace {f\circ f\circ \dots \circ f} _{n{\mbox{ razy}}}\colon X\to X.}
Powyższe funkcje iterowane tworzą układ dynamiczny. Badanie takich układów oznacza m.in. poszukiwanie miary na Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): X, której przekształcenie Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): f zachowuje, tzw. miary niezmienniczej, czyli takiej, dla której Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle f_*(\mu) = \mu.}
  • Można również rozważać miary quasi-niezmiennicze dla takiego układu dynamicznego: miara Parser nie mógł rozpoznać (Błąd konwersji. Serwer („https://pl.wikipedia.org/api/rest_”) zgłosił: „Cannot get mml. Server problem.”): \mu na nazywa się quasi-niezmienniczą względem Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): f, jeżeli tylko miara obrazowa Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): \mu w Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): f jest równoważna oryginalnej mierze Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): \mu (nie musi być jej równa).