Miara obrazowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Miara obrazowa (ang. pushforward measure) – miara uzyskiwana poprzez przeniesienie pewnej miary z jednej przestrzeni mierzalnej do innej za pomocą funkcji mierzalnej.

Definicja formalna[edytuj]

Dla danych przestrzeni mierzalnych i funkcji mierzalnej oraz miary miarą obrazową miary nazywa się miarę daną wzorem

Definicja ta przenosi się mutatis mutandis na miary ze znakiem i zespolone.

Przykłady i zastosowania[edytuj]

  • Za pomocą konstrukcji miary obrazowej i miary Lebesgue'a na prostej rzeczywistej można zdefiniować naturalną „miarę Lebesgue'a” na okręgu jednostkowym (rozważanym tutaj jako podzbiór płaszczyzny zespolonej). Niech oznacza zawężenie miary Lebesgue'a do przedziału , zaś będzie bijekcją naturalną określoną wzorem Wspomniana naturalna „miara Lebesgue'a” na jest wtedy miarą obrazową która może być także nazywana „miarą długości łuku” lub „miarą kątową”, ponieważ miara łuku jest istotnie długością łuku (lub równoważnie miarą kąta środkowego wyznaczaną przez ten łuk).
  • Poprzedni przykład łatwo rozszerza się do naturalnej „miary Lebesgue'a” na -wymiarowym torusie przy czym jest on przypadkiem szczególnym zagadnienia z torusem, gdyż Wspomniana miara Lebesgue'a na jest, z dokładnością do normalizacji, miarą Haara na zwartej, spójnej grupie Liego
  • Miary gaussowskie na nieskończeniewymiarowych przestrzeniach liniowych określa się za pomocą miary obrazowej i standardowej miary Gaussa na prostej rzeczywistej: miarę borelowską na ośrodkowej przestrzeni Banacha nazywa się gaussowską, jeżeli miara obrazowa dowolnego niezerowego funkcjonału liniowego z ciągłej przestrzeni sprzężonej w jest miarą Gaussa na
  • Niech dana będzie funkcja mierzalna oraz -krotne złożenie
Powyższe funkcje iterowane tworzą układ dynamiczny. Badanie takich układów oznacza m.in. poszukiwanie miary na której przekształcenie zachowuje, tzw. miary niezmienniczej, czyli takiej, dla której
  • Można również rozważać miary quasi-niezmiennicze dla takiego układu dynamicznego: miara na nazywa się quasi-niezmienniczą względem jeżeli tylko miara obrazowa w jest równoważna oryginalnej mierze (nie musi być jej równa).