Niezmiennik

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Niezmiennik (inwariant) – cecha lub właściwość, która jest stała (nie zmienia się) w trakcie przekształceń, procesów przemiany itp.

Bardziej formalnie, jeśli klasa obiektów wyposażona jest w relację równoważności ρ, a jest dowolnym zbiorem, to niezmiennikiem (relacji równoważności ρ) nazywamy dowolną funkcję stałą na klasach abstrakcji relacji ρ. Nieco ściślej możemy wtedy mówić o niezmienniku relacji równoważności ρ. Jeśli , to często się mówi, że jest niezmiennikiem obiektu [1].

Problem istnienia niezmienników jest ściśle związany z problemami klasyfikacji obiektów matematycznych. Celem każdej klasyfikacji matematycznej jest bowiem skonstruowanie zupełnego układu niezmienników[1].

Termin „niezmiennik” został wprowadzony przez amerykańskiego matematyka Jamesa Josepha Sylvestra w roku 1851[1].

Przykłady niezmienników[edytuj]

  • Niech będzie zbiorem płaskich krzywych rzeczywistych drugiego stopnia, a relacja ρ niech będzie relacją zdefiniowaną następująco:
krzywa jest równoważna krzywej wtedy i tylko wtedy, gdy jedna z nich jest obrazem izometrycznym drugiej.
Jeśli krzywa jest w kartezjańskim układzie współrzędnych dana równaniem
,
to liczby
nie zależą od wyboru układu współrzędnych, choć samo równanie linii zależy. Dwie krzywe są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy te trzy wielkości są dla nich takie same[1]. Każda z tych wielkości jest funkcją stałą na klasach abstrakcji relacji równoważności ρ, a więc jest niezmiennikiem określonym na .
  • Niech będzie zbiorem uporządkowanych czwórek współliniowych punktów rzeczywistej przestrzeni rzutowej. Dwie czwórki są równoważne, jeśli jedna z nich jest obrazem drugiej przy przekształceniu rzutowym przestrzeni. Jak wiadomo, przekształcenie rzutowe nie zmienia dwustosunku czwórek uporządkowanych punktów współliniowych, czyli dwustosunek jest ich niezmiennikiem.
  • Według Kleina geometria afiniczna przestrzeni trójwymiarowej jest teorią niezmienników grupy przekształceń liniowych zawierającej: przesunięcia równoległe, obroty dokoła środka układu współrzędnych O, symetrie względem tego samego środka O, homotetie o środku O[2]. W oryginalnym tekście Klein nie używa co prawda nazwy geometria afiniczna, ale z wyszczególnienia przekształceń wynika, że o tę geometrię mu chodziło. Takimi cechami niezmienniczymi są na przykład: równoległość prostych, leżenie punktów na jednej prostej, leżenie punktów na jednej płaszczyźnie.

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. a b c d Ю. Прохоров (red.): Математический энциклопедический словарь. Москва: Советская энциклопедия, 1988, s. 226. (ros.)
  2. Feliks Klein: Elementarmathematik vom höheren standpunkte aus zwieiter band (tłum. ros.). Moskwa: Nauka, 1987, s. 201-202.