Przestrzeń przeliczalnie zwarta

Przestrzeń przeliczalnie zwarta – przestrzeń topologiczna analizowana w topologii ogólnej, będąca uogólnieniem przestrzeni zwartej.

Pojęcie to zdefiniował w 1906 francuski matematyk Maurice Fréchet.

Definicja

Przestrzeń topologiczna jest przestrzenią przeliczalnie zwartą, jeśli z dowolnego przeliczalnego pokrycia otwartego tej przestrzeni można wybrać podpokrycie skończone.

Niektórzy autorzy wymagają dodatkowo, aby rozważana przestrzeń była T₂.

Przykłady

• Każda przestrzeń zwarta jest (oczywiście) przestrzenią przeliczalnie zwartą.
• Niech zbiór $\omega _{1}$ wszystkich przeliczalnych liczb porządkowych będzie wyposażony w topologię generowaną przez przedziały $(\alpha ,\beta ]$ (dla $\alpha <\beta <\omega _{1}$) i zbiór jednopunktowy $\{0\}.$ Wówczas otrzymujemy przeliczalnie zwartą przestrzeń Hausdorffa, która nie jest zwarta.
• Niech $\beta \mathbb {N}$ będzie uzwarceniem Čecha-Stone’a przestrzeni liczb naturalnych $\mathbb {N}$ i niech $p\in \beta \mathbb {N} \setminus \mathbb {N} .$ Wówczas $\beta \mathbb {N} \setminus \{p\}$ (z topologią podprzestrzeni) jest przeliczalnie zwartą przestrzenią Hausdorffa która nie jest zwarta.

Własności

• Każda domknięta podprzestrzeń przestrzeni przeliczalnie zwartej jest przeliczalnie zwarta.
• Każda przeliczalnie zwarta przestrzeń Lindelöfa jest zwarta.
• Jeśli $X$ jest przestrzenią przeliczalnie zwartą i $f:X\longrightarrow \mathbb {R}$ jest funkcją ciągła, to obraz $f(X)$ funkcji $f$ jest ograniczonym zbiorem domkniętym (a zatem funkcja $f$ osiąga swoje kresy).
• Ciągły obraz przestrzeni przeliczalnie zwartej jest przestrzenią przeliczalnie zwartą.
• Jeśli $X$ jest przestrzenią przeliczalnie zwartą i $Y$ jest przestrzenią zwartą, to $X\times Y$ (z topologią Tichonowa) jest przestrzenią przeliczalnie zwartą.
• Produkt dwóch przestrzeni przeliczalnie zwartych nie musi być przeliczalnie zwarty.
• Przypuśćmy, że $X$ jest przestrzenią Hausdorffa. Wówczas następujące warunki są równoważne:

(a) $X$ jest przestrzenią przeliczalnie zwartą.

(b) Każda przeliczalna rodzina domkniętych podzbiorów $X$ z własnością skończonych przekrojów ma niepusty przekrój.

(c) Każdy zstępujący ciąg $F_{0}\supseteq F_{1}\supseteq F_{2}\supseteq \ldots$ niepustych domkniętych podzbiorów $X$ ma niepusty przekrój.

(d) Każda lokalnie skończona rodzina podzbiorów $X$ jest skończona.

(e) Każdy nieskończony podzbiór $X$ ma punkt skupienia.

Zobacz też

• przestrzeń Lindelöfa
• przestrzeń zwarta