Aksjomaty Zermela-Fraenkla: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
Redukuję zapis autora |
m Zastępowanie przestarzałej składni LaTeX zgodnie z mw:Extension:Math/Roadmap |
||
Linia 24: | Linia 24: | ||
:Inne nazwy: aksjomat wyróżniania, aksjomat wycinania. |
:Inne nazwy: aksjomat wyróżniania, aksjomat wycinania. |
||
: Dla każdego zbioru <math>b</math> istnieje zbiór <math>a</math>, złożony z tych i tylko tych elementów <math>x</math> zbioru <math>b</math>, które mają własność <math>\varphi</math>: |
: Dla każdego zbioru <math>b</math> istnieje zbiór <math>a</math>, złożony z tych i tylko tych elementów <math>x</math> zbioru <math>b</math>, które mają własność <math>\varphi</math>: |
||
:: <math>\forall p_1 \dots \forall p_n\; \forall b\; \exist a\; \forall x\; \bigg(x \in a \Leftrightarrow \Big(x \in b \ |
:: <math>\forall p_1 \dots \forall p_n\; \forall b\; \exist a\; \forall x\; \bigg(x \in a \Leftrightarrow \Big(x \in b \land \varphi(x, b, p_1, \dots , p_n)\Big) \bigg) </math> |
||
: Aksjomat podzbiorów daje się wyprowadzić z aksjomatu zbioru pustego i aksjomatu zastępowania. |
: Aksjomat podzbiorów daje się wyprowadzić z aksjomatu zbioru pustego i aksjomatu zastępowania. |
||
Linia 30: | Linia 30: | ||
{{Główny artykuł|Aksjomat pary}} |
{{Główny artykuł|Aksjomat pary}} |
||
: Dla dowolnych zbiorów <math>a</math> i <math>b</math> istnieje zbiór <math>c</math>, którego elementami są dokładnie zbiory <math>a</math> oraz <math>b</math>: |
: Dla dowolnych zbiorów <math>a</math> i <math>b</math> istnieje zbiór <math>c</math>, którego elementami są dokładnie zbiory <math>a</math> oraz <math>b</math>: |
||
:: <math>\forall a\; \forall b\; \exist c\; \forall x\; \Big(x \in c \Leftrightarrow (x = a \ |
:: <math>\forall a\; \forall b\; \exist c\; \forall x\; \Big(x \in c \Leftrightarrow (x = a \lor x = b)\Big)</math> |
||
===Aksjomat sumy=== |
===Aksjomat sumy=== |
||
{{Główny artykuł|Aksjomat sumy}} |
{{Główny artykuł|Aksjomat sumy}} |
||
: Dla dowolnej [[Rodzina zbiorów|rodziny zbiorów]] <math>r</math> istnieje zbiór <math>u</math>, do którego należą dokładnie te elementy <math>x</math>, które należą do co najmniej jednego spośród zbiorów, które są elementami rodziny <math>r</math>: |
: Dla dowolnej [[Rodzina zbiorów|rodziny zbiorów]] <math>r</math> istnieje zbiór <math>u</math>, do którego należą dokładnie te elementy <math>x</math>, które należą do co najmniej jednego spośród zbiorów, które są elementami rodziny <math>r</math>: |
||
:: <math>\forall r\; \exist u\; \forall x\; \Big(x \in u \Leftrightarrow \exist a\; (x \in a \ |
:: <math>\forall r\; \exist u\; \forall x\; \Big(x \in u \Leftrightarrow \exist a\; (x \in a \land a \in r)\Big)</math> |
||
===Aksjomat zbioru potęgowego=== |
===Aksjomat zbioru potęgowego=== |
||
Linia 45: | Linia 45: | ||
{{Główny artykuł|Aksjomat nieskończoności}} |
{{Główny artykuł|Aksjomat nieskończoności}} |
||
: Istnieje [[zbiór induktywny]]: |
: Istnieje [[zbiór induktywny]]: |
||
:: <math>\exist x\; \Bigg(\exist a\; \Big(a \in x \ |
:: <math>\exist x\; \Bigg(\exist a\; \Big(a \in x \land \forall b\; \neg(b \in a)\Big)</math> |
||
::: <math>\ |
::: <math>\land \forall c \bigg( c\in x\Rightarrow \exist d\; \Big(d \in x \land \forall e\; \big(e \in d \Leftrightarrow (e \in c \lor e = c)\big)\Big)\bigg)\Bigg)</math> |
||
: Istnieje wiele takich zbiorów. |
: Istnieje wiele takich zbiorów. |
||
:[[Część wspólna]] wszystkich takich zbiorów jest najmniejszym zbiorem o tych właściwościach i określa zbiór [[liczby naturalne|liczb naturalnych]]. |
:[[Część wspólna]] wszystkich takich zbiorów jest najmniejszym zbiorem o tych właściwościach i określa zbiór [[liczby naturalne|liczb naturalnych]]. |
||
Linia 56: | Linia 56: | ||
: <math>\forall y\; \bigg(y \in Y \Leftrightarrow \exist x\in X\; \Big(\Theta(x,y)\Big)\bigg)</math> |
: <math>\forall y\; \bigg(y \in Y \Leftrightarrow \exist x\in X\; \Big(\Theta(x,y)\Big)\bigg)</math> |
||
:: <math>\forall p_1 \dots \forall p_n\; \forall X\; \Bigg(\forall x\; \exist! y\; \Theta(x, y, X, p_1, \dots , p_n)</math> |
:: <math>\forall p_1 \dots \forall p_n\; \forall X\; \Bigg(\forall x\; \exist! y\; \Theta(x, y, X, p_1, \dots , p_n)</math> |
||
::: <math>\Rightarrow \exist Y\; \forall y\; \bigg(y \in Y \Leftrightarrow \exist x\; \Big(x \in X \ |
::: <math>\Rightarrow \exist Y\; \forall y\; \bigg(y \in Y \Leftrightarrow \exist x\; \Big(x \in X \land \Theta(x, y, X, p_1, \dots, p_n) \Big)\bigg)\Bigg)</math> |
||
: przy czym: <math>\exist! y\; w(y) \Leftrightarrow ((\exist y)(\forall x)\; \left(w(x) \Leftrightarrow x = y\right))</math> |
: przy czym: <math>\exist! y\; w(y) \Leftrightarrow ((\exist y)(\forall x)\; \left(w(x) \Leftrightarrow x = y\right))</math> |
||
Linia 63: | Linia 63: | ||
:Inna nazwa: aksjomat ufundowania. |
:Inna nazwa: aksjomat ufundowania. |
||
: Każdy niepusty zbiór <math>x</math> ma element rozłączny z <math>x</math>: |
: Każdy niepusty zbiór <math>x</math> ma element rozłączny z <math>x</math>: |
||
:: <math>\forall x\; \Bigg(x \neq \emptyset \Rightarrow \exist y\; \bigg(y \in x \ |
:: <math>\forall x\; \Bigg(x \neq \emptyset \Rightarrow \exist y\; \bigg(y \in x \land \neg\Big(\exist z\; (z \in x \land z \in y)\Big)\bigg)\Bigg)</math> |
||
: Jest on niezależny od pozostałych aksjomatów. Rozważane są teorie, w których jako aksjomat przyjmuje się jego negację. Występujące w takich teoriach nieufundowane zbiory noszą nazwę hiperzbiorów. |
: Jest on niezależny od pozostałych aksjomatów. Rozważane są teorie, w których jako aksjomat przyjmuje się jego negację. Występujące w takich teoriach nieufundowane zbiory noszą nazwę hiperzbiorów. |
||
Linia 70: | Linia 70: | ||
: Dla dowolnej rodziny <math>r</math> zbiorów niepustych parami rozłącznych istnieje selektor <math>s</math> (zbiór, do którego należy dokładnie jeden element z każdego zbioru należącego do rodziny). |
: Dla dowolnej rodziny <math>r</math> zbiorów niepustych parami rozłącznych istnieje selektor <math>s</math> (zbiór, do którego należy dokładnie jeden element z każdego zbioru należącego do rodziny). |
||
:: <math>\forall r\; \Bigg(\forall a\; (a \in r \Rightarrow a \neq \emptyset)</math> |
:: <math>\forall r\; \Bigg(\forall a\; (a \in r \Rightarrow a \neq \emptyset)</math> |
||
::: <math>\ |
::: <math>\land \forall a\; \forall b\; \bigg(\Big(a \in r \land b \in r \land a \neq b\Big) \Rightarrow \neg\Big(\exist x\; (x \in a \land x\in b)\Big)\bigg)</math> |
||
::: <math>\Rightarrow \exist s\; \forall a\; \Big(a \in r \Rightarrow \exist! y\; (y \in s \ |
::: <math>\Rightarrow \exist s\; \forall a\; \Big(a \in r \Rightarrow \exist! y\; (y \in s \land y \in a)\Big)\Bigg)</math> |
||
: przy czym: <math>\exist! y\; w(y) \Leftrightarrow ((\exist y)(\forall x)\; \left(w(x) \Leftrightarrow x = y\right))</math> |
: przy czym: <math>\exist! y\; w(y) \Leftrightarrow ((\exist y)(\forall x)\; \left(w(x) \Leftrightarrow x = y\right))</math> |
||
Wersja z 23:20, 30 paź 2018
Aksjomaty Zermela[a]-Fraenkla[b], aksjomatyka Zermela-Fraenkla – powszechnie przyjmowany układ aksjomatów teorii mnogości zaproponowany przez Ernsta Zermela w 1904 roku i później uzupełniony przez Abrahama Fraenkla. Tym, co w istocie Fraenkel dodał do teorii Zermela, były funkcje[c].
Dla aksjomatyki Zermela-Fraenkla stosuje się często wygodną symbolikę ZF. Ze względu na specyfikę jednego z jej aksjomatów zwanego aksjomatem wyboru, stosuje się także obok ZF oznaczenie ZFC dla zaznaczenia, że dowód jakiegoś twierdzenie wymaga lub nie wymaga zastosowania aksjomatu wyboru.
Historia
W 1908 roku Ernst Zermelo zaproponował pierwszy zestaw aksjomatów teorii mnogości: teorię mnogości Zermela. Ta aksjomatyczna teoria nie umożliwiała konstrukcji liczb porządkowych. Choć większość „zwykłej matematyki” można wyprowadzić bez ich używania, jednak liczby porządkowe są nieodzowne w większości badań teoriomnogościowych[c]. Ponadto, jeden z aksjomatów Zermela odwoływał się do bliżej niewyjaśnionego pojęcia „określonej” właściwości. W 1922 roku Abraham Fraenkel i Thoralf Skolem zaproponowali, niezależnie, uściślenie pojęcia „określoności” właściwości jako takich, które mogą zostać sformułowane w rachunku predykatów z równością, w którym jedynym symbolem spoza logiki jest binarny predykat „należenia do”, oznaczany symbolem ∈. Również niezależnie od siebie, zaproponowali oni zastąpienie aksjomatu podzbiorów przez aksjomat zastępowania. Stosując wspomniany schemat oraz dodając do teorii mnogości Zermela aksjomat regularności, zaproponowany przez Zermela w 1930 roku, otrzymuje się teorię ZF.
Aksjomaty Zermela-Fraenkla
Aksjomat ekstensjonalności
- Główny artykuł:
- Jeżeli zbiory i mają te same elementy, to są identyczne:
Aksjomat zbioru pustego
- Główny artykuł:
- Istnieje zbiór, który nie ma żadnego elementu:
- Na mocy aksjomatu ekstensjonalności istnieje tylko jeden zbiór posiadający taką właściwość: zbiór pusty, oznaczany symbolem
Aksjomat podzbiorów
- Główny artykuł:
- Inne nazwy: aksjomat wyróżniania, aksjomat wycinania.
- Dla każdego zbioru istnieje zbiór , złożony z tych i tylko tych elementów zbioru , które mają własność :
- Aksjomat podzbiorów daje się wyprowadzić z aksjomatu zbioru pustego i aksjomatu zastępowania.
Aksjomat pary
- Główny artykuł:
- Dla dowolnych zbiorów i istnieje zbiór , którego elementami są dokładnie zbiory oraz :
Aksjomat sumy
- Główny artykuł:
- Dla dowolnej rodziny zbiorów istnieje zbiór , do którego należą dokładnie te elementy , które należą do co najmniej jednego spośród zbiorów, które są elementami rodziny :
Aksjomat zbioru potęgowego
- Główny artykuł:
- Dla każdego zbioru istnieje zbiór , którego elementami są dokładnie podzbiory zbioru :
Aksjomat nieskończoności
- Główny artykuł:
- Istnieje zbiór induktywny:
-
- Istnieje wiele takich zbiorów.
- Część wspólna wszystkich takich zbiorów jest najmniejszym zbiorem o tych właściwościach i określa zbiór liczb naturalnych.
Aksjomat zastępowania
- Główny artykuł:
- Aksjomat podzbiorów jest jego słabszą wersją.
- Jeżeli dla każdego istnieje dokładnie jeden , dla którego zachodzi , to dla dowolnego zbioru istnieje taki zbiór , że:
-
-
- przy czym:
Aksjomat regularności
- Główny artykuł:
- Inna nazwa: aksjomat ufundowania.
- Każdy niepusty zbiór ma element rozłączny z :
- Jest on niezależny od pozostałych aksjomatów. Rozważane są teorie, w których jako aksjomat przyjmuje się jego negację. Występujące w takich teoriach nieufundowane zbiory noszą nazwę hiperzbiorów.
Aksjomat wyboru
- Główny artykuł:
- Dla dowolnej rodziny zbiorów niepustych parami rozłącznych istnieje selektor (zbiór, do którego należy dokładnie jeden element z każdego zbioru należącego do rodziny).
-
- przy czym:
- Za pomocą pozostałych aksjomatów można udowodnić równoważność tego aksjomatu z lematem Kuratowskiego-Zorna oraz twierdzeniem, że w każdym zbiorze istnieje relacja dobrego porządku, a także z aksjomatem multiplikacji głoszącym, że dla dowolnej indeksowanej rodziny niepustych zbiorów istnieje funkcja wyboru
- taka, że:
- dla wszystkich .
- taka, że:
Zobacz też
Uwagi
- ↑ W literaturze przedmiotu dominuje dopełniacz nazwiska w postaci nieodmienionej, czyli „aksjomaty Zermelo”, co jest niezgodne z polskimi zasadami deklinacji; sporadycznie pojawia się, również niepoprawna, forma „Zermeli”.
- ↑ Znacznie rzadziej występuje oboczność „Fraenkela”.
- ↑ a b Umożliwiają one m.in. konstrukcję . Przykładowo może być równe m.in. , czy … (jedynym ograniczeniem na jest , zob. współkońcowość). Pierwszym zbiorem, którym nie może być jest .
Bibliografia
- Wojciech Guzicki, Piotr Zakrzewski: Wykłady ze wstępu do matematyki: wprowadzenie do teorii mnogości. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2005. ISBN 83-01-14415-7.
- Agnieszka Wojciechowska: Elementy logiki i teorii mnogości. Warszawa: WN PWN, 1979. ISBN 83-01-00756-7.
Linki zewnętrzne
Artykuły na Stanford Encyclopedia of Philosophy (ang.) [dostęp 2018-01-29]:
- Michael Hallett , Zermelo's Axiomatization of Set Theory, 2 lipca 2013 . (Aksjomatyzacja Zermela teorii mnogości)
- Laura Crosilla , Set Theory: Constructive and Intuitionistic ZF, 19 lutego 2014 . (Teoria mnogości: konstruktywne i intuicjonistyczne ZF)