Komutator (matematyka)

Komutator – w matematyce wskaźnik stopnia nieprzemienności pewnego działania dwuargumentowego. Definicje w teorii grup oraz teorii pierścieni różnią się między sobą.

Teoria grup

Komutator dwóch elementów $g$ i $h$ należących do grupy $G$ to element

$[g,h]=g^{-1}h^{-1}gh$.

Jest on równy jedynce grupy wtedy i tylko wtedy, gdy $g$ i $h$ komutują (czyli są przemienne, tzn. $gh=hg$). Podgrupa grupy $G$ generowana przez wszystkie komutatory nazywana jest komutantem grupy $G$. Warto zauważyć, że należy rozważać podgrupę generowaną przez zbiór komutatorów, ponieważ w ogólności nie jest on zamknięty ze względu na działanie grupowe. Komutatory stosuje się w definicjach grup nilpotentnych i rozwiązalnych.

Uwaga

Powyższa definicja komutatora służy przede wszystkim matematykom badającym teorię grup. Wielu innych matematyków definiuje komutator jako

$[g,h]=ghg^{-1}h^{-1}$.

Tożsamości

W tej sekcji wyrażenie $g^{x}$ oznacza sprzężony (przez $x$) element $x^{-1}gx$.

• $[y,x]=[x,y]^{-1}$.
• $\left[[x,y^{-1}],z\right]^{y}\cdot \left[[y,z^{-1}],x\right]^{z}\cdot \left[[z,x^{-1}],y\right]^{x}=1$.
• $[xy,z]=[x,z]^{y}\cdot [y,z]$.
• $[x,yz]=[x,z]\cdot [x,y]^{z}$.

Druga z tożsamości znana jest jako tożsamość Halla-Witta, która jest teoriogrupowym analogonem tożsamości Jacobiego komutatora z teorii pierścieni (zob. następna sekcja). Czwarta równość wynika z pierwszej i trzeciej.

Uwaga

Powyższa definicja sprzężenia $g$ przez $x$ używana jest przez badaczy teorii grup. Wielu innych matematyków definiuje sprzężenie $g$ przez $x$ jako $xax^{-1}$, zwykle zapisuje się to jako ${}^{x}g$.

Teoria pierścieni

Komutator dwóch elementów $a$ i $b$ pierścienia lub algebry łącznej zdefiniowany jest jako

$[a,b]=ab-ba$.

Ma on wartość zero wtedy i tylko wtedy, gdy $a$ i $b$ są przemienne (komutują). W algebrze liniowej jeżeli dwa endomorfizmy przestrzeni są reprezentowane przez komutujące macierze względem jednej bazy, to są one tak reprezentowane w każdej bazie.

Zastosowanie komutatora jako nawiasu Liego umożliwia przekształcenie dowolnej algebry łącznej w algebrę Liego. Komutator dwóch operatorów na przestrzeni Hilberta jest ważnym pojęciem mechaniki kwantowej, ponieważ wskazuje jak dobrze dwie obserwable opisywane za pomocą tych operatorów mogą być równocześnie mierzone. Zasada nieoznaczoności jest ostatecznym twierdzeniem o tych komutatorach.

Tożsamości

Komutator ma następujące własności:

Wzory dla algebr Liego:

• $[A,A]=0$,
• $[A,B]=-[B,A]$,
• $[A,[B,C]]+[B,[C,A]]+[C,[A,B]]=0$.

Druga relacja nazywana jest antyprzemiennością, a trzecia znana jest jako tożsamość Jacobiego.

Dodatkowe wzory:

• $[A,BC]=[A,B]C+B[A,C]$,
• $[AB,C]=A[B,C]+[A,C]B$,
• $[A,BC]=[AB,C]+[CA,B]$,
• $[ABC,D]=AB[C,D]+A[B,D]C+[A,D]BC$,
• $[[[A,B],C],D]+[[[B,C],D],A]+[[[C,D],A],B]+[[[D,A],B],C]=[[A,C],[B,D]]$.

Jeżeli $A$ jest ustalonym elementem pierścienia ${\mathfrak {R}}$, pierwszy dodatkowy wzór może być interpretowany jako reguła Leibniza dla odwzorowania $D_{A}\colon R\to R$ dany wzorem $B\mapsto [A,B]$. Innymi słowy, odwzorowanie $D_{A}$ definiuje różniczkowanie w pierścieniu ${\mathfrak {R}}$.

Użyteczna jest również następująca tożsamość komutatorowa będąca przypadkiem szczególnym wzoru Bakera-Cambella-Hausdorffa:

• $e^{A}Be^{-A}=B+[A,B]+{\tfrac {1}{2!}}[A,[A,B]]+{\tfrac {1}{3!}}[A,[A,[A,B]]]+\dots$.

Przykład

Niech dane będą dwa operatory: różniczkowy $\operatorname {d}$, który przekształca funkcję w jej pochodną oraz $\operatorname {x}$, który przekształca funkcję w iloczyn niej samej i jej argumentu.

Badanie nieprzemienności tych operatorów na niezerującej się funkcji różniczkowalnej $F$ przebiega jak następuje:

• $\operatorname {d} (\operatorname {x} \;F)=\operatorname {dx} \;F+\operatorname {xd} \;F=F+\operatorname {xd} \;F$, ponieważ $\operatorname {dx} =1$,
• $\operatorname {x} (\operatorname {d} \;F)=\operatorname {xd} \;F$.

Odjęciu tych równań stronami daje:

$\operatorname {d} (\operatorname {x} \;F)-\operatorname {x} (\operatorname {d} \;F)=F+\operatorname {xd} \;F-\operatorname {xd} \;F$,

$\operatorname {d} (\operatorname {x} \;F)-\operatorname {x} (\operatorname {d} \;F)=F$.

Po wyłączeniu poza nawias i podzieleniu przez $F$ jest

$(\operatorname {dx} -\operatorname {xd} )F=F$,

$(\operatorname {dx} -\operatorname {xd} )=1$, czyli $[\operatorname {d} ,\operatorname {x} ]=1$.

Stąd wynik zastosowania obu operatorów $\operatorname {d}$ i $\operatorname {x}$ na funkcję $F$ zależy od ich kolejności, na co wskazuje również komutator równy jedności.

Pierścienie i algebry z gradacją

Podczas badania algebr z gradacją komutator zastępuje się zwykle komutatorem z gradacją definiowanym w języku składowych jednorodnych jako $[\omega ,\eta ]_{gr}:=\omega \eta -(-1)^{\deg \omega \deg \eta }\eta \omega$.

Różniczkowania

Szczególnie jeżeli w grę wchodzi posługiwanie się wieloma komutatorami, użyteczny okazuje się być inny zapis korzystający z reprezentacji sprzężeniowej

$\operatorname {ad} (x)(y)=[x,y]$.

Wówczas $\operatorname {ad} (x)$ jest różniczkowaniem, a $\operatorname {ad}$ jest liniowe, np. $\operatorname {ad} (x+y)=\operatorname {ad} (x)+\operatorname {ad} (y)$ oraz $\operatorname {ad} (\lambda x)=\lambda \operatorname {ad} (x)$ i homomorfizmem algebry Liego, np. $\operatorname {ad} ([x,y])=[\operatorname {ad} (x),\operatorname {ad} (y)]$, ale nie zawsze jest homomorfizmem algebr, np. tożsamość $\operatorname {ad} (xy)=\operatorname {ad} (x)\operatorname {ad} (y)$ w ogólności nie zachodzi.

Przykłady:

• $\operatorname {ad} (x)\operatorname {ad} (x)(y)=\left[x,[x,y]\right]$.
• $\operatorname {ad} (x)\operatorname {ad} (a+b)(y)=\left[x,[a+b,y]\right]$.

Antykomutator

Antykomutator $\{a,b\}$ lub $[a,b]_{+}$ definiowany jest jako $[a,b]_{+}=ab+ba$. Przy stosowaniu oznaczenia z plusem zwykle komutator oznacza się odpowiednio znakiem minus $[a,b]_{-}$.

Z oznaczenia tego korzysta się w fizyce dla operatorów kreacji i anihilacji cząstek o spinie połówkowym (fermionach). Operatory te spełniają reguły antykomutacji, co związane jest z zakazem Pauliego mówiącym, że dany stan nie może być obsadzony przez dwie różne cząstki ($[a,a]_{+}=0=aa+aa$).

Operatory kreacji i anihilacji cząstek o spinie całkowitym (bozonów) spełniają reguły komutacji.

W rachunkach w fizyce, w których używane są komutatory i antykomutatory stosuje się zapis wariantowy z symbolem plus/minus lub minus/plus przy komutatorze $[.,.]_{\pm }$ odnosząc rachunki odpowiednio do antykomutatorów/komutatorów dla fermionów/bozonów.

W kwantowej teorii pola dla pól fermionowych stosuje się reguły antykomutacyjne oraz liczby Grassmana (są to liczby, rozpinające algebrę, w której generatory antykomutują między sobą oraz komutują ze zwykłymi liczbami).

Zobacz też

• przegląd zagadnień z zakresu matematyki,
• antyprzemienność,
• algebra różniczkowa,
• pochodna Pincherlego,
• nawias Poissona,
• kanoniczna relacja komutacji,
• mechanika kwantowa.

Źródła

• David J. Griffiths: Introduction to Quantum Mechanics. Wyd. drugie. Prentice Hall, 2004. ISBN 0-13-805326-X.brak strony w książce
• Liboff, Richard L.: Introductory Quantum Mechanics. Addison-Wesley, 2002. ISBN 0-8053-8714-5.brak strony w książce