Dzielenie przez zero

Dzielenie przez zero − dzielenie, w którym dzielnik jest zerem; jako takie nie ma ono sensu, przez co bywa źródłem błędów obliczeniowych, często ukrytych.

Prostym przykładem błędu wynikłego z powodu dzielenia przez zero jest następujący: niech $a=1$ i $b=1,$ wówczas skoro $a=b,$ to również $a^{2}=b^{2}$ oraz $a^{2}-b^{2}=0,$ a ze wzoru na różnicę kwadratów jest $(a-b)(a+b)=0.$ Dzieląc stronami przez $a-b$ uzyskuje się

${\frac {(a-b)(a+b)}{a-b}}={\frac {0}{a-b}},$

co jest równoważne $a+b=0,$ a więc $1+1=0,$ skąd $2=0.$ Sprzeczność tę łatwo wyłowić zauważając, że $a-b=1-1=0.$

Wytłumaczenie

Definiując działanie algebraiczne, które dla dowolnych dwóch liczb $a$ i $b$ przyjmowało wartości pokrywające się ze zwykłym dzieleniem, w przypadku gdy $b\neq 0$ oraz jakąkolwiek, ustaloną z góry, wartość dla $b=0$ popada się w sprzeczność bądź niejednoznaczność. Działanie dzielenia określa się jako działanie odwrotne względem mnożenia, tzn.

${\frac {a}{b}}=a\cdot {\frac {1}{b}},$

gdzie ${\tfrac {1}{b}}$ jest elementem odwrotnym do $b,$ dla którego z definicji zachodzić ma

$b\cdot {\frac {1}{b}}=1.$

W ten sposób dzielenie przez zero jest tożsame z równaniem

$b\cdot 0=1,$

które jest sprzeczne dla dowolnego $b,$ o ile tylko $0\neq 1.$ Definicja ciała zawiera ten warunek, dlatego dzielenie przez zero nie ma sensu w liczbach wymiernych, rzeczywistych, czy zespolonych; każdy pierścień spełniający warunek $0=1$ jest pierścieniem trywialnym zawierającym tylko ten element, a więc zdefiniowanie np. liczb całkowitych (tworzących pierścień) jest wtedy niemożliwe.

Z kolei napisowi ${\tfrac {0}{0}}$ można przypisać jakąkolwiek wartość, gdyż

${\tfrac {0}{0}}=0\cdot {\tfrac {1}{0}}=0,$

jakkolwiek nie dobrać wartości ${\tfrac {1}{0}}.$ Dlatego dzielenia zera przez zero również nie można nazwać działaniem, gdyż brak mu wymaganej jednoznaczności wyniku, która cechuje jakiekolwiek inne dzielenie przez liczbę różną od zera. W algebrze rozpatruje się pierścienie, które mają tzw. właściwe dzielniki zera (elementy, które pomnożone przez pewien inny dają w wyniku zero) − mimo braku zgodności z intuicją definicja takich elementów jest poprawna, choć nie można przez nie dzielić (podobnie jak przez zero, które jest jedynym dzielnikiem zera w ciałach), tzn. nie są odwracalne.

Oznaczenia

Choć symbol ${\tfrac {a}{0}}$ dla dowolnego $a,$ również dla zera, nie ma sensu, to oznaczenie to stosuje się w analizie matematycznej do oznaczania niewłaściwych granic ciągów, czy granic funkcji. Jeśli $a\neq 0$ jest dowolną liczbą, to symbol ten oznacza, że granicą ciągu bądź funkcji jest $\pm \infty$ (w zależności od znaku tej liczby). Symbol ${\tfrac {0}{0}}$ oznacza, że dana granica może mieć dowolną granicę właściwą bądź niewłaściwą, bądź może nie istnieć. W przypadku liczb rzeczywistych pomocne mogą się okazać inne kryteria zbieżności, np. twierdzenie Stolza w przypadku ciągów lub jego różniczkowy odpowiednik dla funkcji − reguła de l'Hospitala. Symbole te stosuje się również w kontekście liczb zespolonych, gdzie standardowo mają podobną interpretację.

Zobacz też

• dzielnik zera