Dzielenie przez zero

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Dzielenie przez zerodzielenie, w którym dzielnik jest zerem; jako takie nie ma ono sensu liczbowego, przez co bywa źródłem błędów obliczeniowych, często ukrytych.

Prostym przykładem błędu wynikłego z dzielenia przez zero jest następujący:
Niech a = 1 i b = 1, wówczas skoro a = b, to również a^2 = b^2 oraz a^2 - b^2 = 0, a ze wzoru na różnicę kwadratów jest (a - b)(a + b) = 0. Dzieląc stronami przez a-b uzyskuje się

\frac{(a - b)(a + b)}{a - b} = \frac{0}{a - b},

co jest równoważne a + b = 0, a więc 1 + 1 = 0, skąd 2 = 0.
Otrzymana sprzeczność wynika z zastosowania dzielenia przez a - b = 1 - 1 = 0.

Wyjaśnienie[edytuj]

W grupie abelowej G z działaniem '\cdot' każde równanie postaci

a=b \cdot x

ma dokładnie jedno rozwiązanie. Tym samym w grupie G zdefiniowane jest funkcja, która każdej parze elementów a,b∈G przypisuje dokładne jeden element oznaczany \tfrac{a}{b}. Jest to więc działanie odwrotne względem '\cdot' nazywane dzieleniem (w terminologii addytywnej - odejmowaniem).

Jeśli grupa G jest grupą multiplikatywną pewnego ciała K, to tym samym zdefiniowane jest dzielenie w zbiorze elementów niezerowych ciała K.

Próba rozszerzenia dziedziny tego działania na wszystkie elementy ciała prowadzi do prób rozwiązania następujących równań:

  • 0=b \cdot x,\ \   b\neq 0
    Ma ono dokładnie jedno rozwiązanie x=0. Jeśli zamiast ciała mamy pierścień z dzielnikami zera i b jest takim niezerowym dzielnikiem zera, to rozwiązaniem tego równania jest pewien niezerowy dzielnik zera, czyli rozwiązań jest więcej niż jedno.
  • a=0 \cdot x, \ \  a\neq 0
    Równanie to jest sprzeczne, bo w dowolnym ciele (ogólniej - w dowolnym pierścieniu) zachodzi 0·x=0 dla każdego x∈K
  • 0=0 \cdot x
    Równanie to jest nieoznaczone tzn. jest spełnione dla każdego element ciała (ogólniej – każdego elementu pierścienia)

W efekcie w każdym ciele jedynie wyrażenie postaci \tfrac{a}{b} dla b≠0 ma dokładnie jedną, konkretną wartość, w szczególności \tfrac{0}{b}=0 dla dowolnego b≠0. Dołączenie warunku \tfrac{0}{b}=0, b≠0 do definicji dzielenia nie prowadzi jednak do rozciągnięcia definicji dzielenia na zerowe liczniki, bowiem dziedzina działania dwuargumentowego musi być identyczna dla każdego argumentu.

Natomiast wyrażeniu \tfrac{a}{0}, a≠0 nie można przypisać żadnej wartości, a wyrażeniu \tfrac{0}{0} odpowiadałaby dowolna wartość. I oba przypadki nie spełniają warunków definicji działania.

Oznaczenia[edytuj]

Choć symbol \tfrac{a}{0} dla dowolnego a, również dla zera, nie ma sensu, to oznaczenie to stosuje się w analizie matematycznej do oznaczania niewłaściwych granic ciągów, czy granic funkcji. Jeśli a \ne 0 jest dowolną liczbą, to symbol ten oznacza, że granicą ciągu bądź funkcji jest \pm \infty (w zależności od znaku tej liczby). Symbol \tfrac{0}{0} oznacza, że dana granica może mieć dowolną granicę właściwą bądź niewłaściwą, bądź może nie istnieć. W przypadku liczb rzeczywistych pomocne mogą się okazać inne kryteria zbieżności, np. twierdzenie Stolza w przypadku ciągów lub jego różniczkowy odpowiednik dla funkcji − reguła de l'Hospitala. Symbole te stosuje się również w kontekście liczb zespolonych, gdzie standardowo mają podobną interpretację.

Zobacz też[edytuj]