Reguła de l’Hospitala

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
(Przekierowano z Reguła de l'Hospitala)
Skocz do: nawigacja, szukaj
Przykład zastosowania reguły de l’Hospitala dla funkcji f(x)=sin(x)g(x)=−0,5x: funkcja h(x)=f(x)/g(x) jest nieokreślona w punkcie x=0, ale może być kontynuowana jako funkcja ciągła w całym zbiorze z wykorzystaniem definicji h(0)=f′(0)/g′(0)=−2.

Reguła de l’Hospitala lub de l'Hôpitala (twierdzenie de l’Hospitala lub de l’Hôpitala) – twierdzenie rachunku różniczkowego i całkowego pozwalające wyznaczać granice wyrażeń dających w wyniku symbol nieoznaczony.

Reguła ta została odkryta przez Jana Bernoulliego, zaś opublikowana przez jego ucznia Guillaume’a François Antoine’a markiza de l’Hospital[1]. W 1696 Guillaume de l’Hospital wydał pierwszy podręcznik rachunku różniczkowego i całkowego l'Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes, w którym dyskutowane tu twierdzenie było zawarte. De l’Hospital nigdy nie twierdził, że jest on autorem tego twierdzenia, niemniej jednak nazwa Reguła de l’Hospitala jest powszechnie przyjęta.

Reguła l’Hospitala[edytuj]

Bezpośrednio z definicji pochodnej funkcji można wykazać następujące twierdzenie:

Jeżeli funkcje i są określone w przedziale otwartym zawierającym punkt oraz

  1. ,
  2. ,

oraz istnieją (skończone) pochodne i , przy czym , wówczas

.

Jeśli dodatkowo i mają ciągłe pochodne w punkcie , to

.

Powyższe twierdzenie może być użyteczne w liczeniu granic wielu funkcji. Dla przykładu

.

Często zdarza się jednak, że funkcje i nie są określone w punkcie jednak ich iloraz ma w tym punkcie granicę. Prawdziwe jest wówczas następujące twierdzenie zwane regułą l’Hospitala:

Wersja podstawowa[edytuj]

Niech funkcje i będą określone w przedziale oraz

  1. ,
  2. ,

lub

  1. ,
  2. ,

oraz istnieją (skończone) pochodne i w przedziale , przy czym dla . Wówczas, jeśli istnieje granica

,

to wtedy również

.

Analogiczne twierdzenie jest też prawdziwe dla granic lewostronnych i obustronnych.

Wersja dla granic niewłaściwych[edytuj]

Niech funkcje i będą określone w przedziale oraz

  1. ,
  2. ,

lub

  1. ,
  2. ,

oraz istnieją (skończone) pochodne i w przedziale , przy czym dla . Wówczas, jeśli istnieje granica

,

to wtedy również

.

Analogiczne twierdzenie jest też prawdziwe dla granic gdy .

Wersja twierdzenia dla funkcji n-krotnie różniczkowalnych[edytuj]

Jeżeli funkcje i są określone w przedziale otwartym zawierającym punkt oraz

  1. w przedziale istnieją (skończone) pochodne wszystkich rzędów do włącznie funkcji i ,
  2. , , oraz ,
  3. dla ,

wówczas

.

Zastosowania[edytuj]

  • Dla niektórych funkcji próba znalezienia ich granicy w pewnym punkcie stosując podstawienie wartości x powoduje, że dochodzimy do wyrażenia nieoznaczonego:

W takim przypadku stosujemy regułę de l’Hospitala zamieniając licznik oraz mianownik wyrażenia na ich pochodne:

Uwaga: nie jest to dowód!

  • Twierdzenie to jest niezwykle przydatne przy obliczaniu granic funkcji. Może się jednak zdarzyć, że granica ilorazu pochodnych nie istnieje, a mimo to istnieje granica ilorazu funkcji.
  • Niekiedy należy obliczyć granice ilorazu kilku kolejnych pochodnych, aby uzyskać wynik.

Zobacz też[edytuj]

Bibliografia[edytuj]

Przypisy

  1. Ze względu na zmiany pisowni francuskiej nazwisko de l’Hospital można również pisać „l’Hôpital” bez (niemego) „s”, za to z charakterystycznym haczykiem zwanym cirkumfleksem