Reguła de l’Hospitala

Przykład zastosowania reguły de l’Hospitala dla funkcji ${\color {BurntOrange}f(x)}={\color {BurntOrange}\sin(x)}$ i ${\color {Red}g(x)}={\color {Red}-0{,}5x}{:}$ funkcja ${\color {Brown}h(x)}={\color {BurntOrange}f(x)}/{\color {Red}g(x)}$ jest nieokreślona w punkcie $x=0,$ ale może być kontynuowana jako funkcja ciągła w całym zbiorze $\mathbb {R}$ z wykorzystaniem definicji ${\color {Brown}h(0)}={\color {RoyalBlue}f'(0)}/{\color {Blue}g'(0)}=-2.$

Reguła de l’Hospitala lub de l’Hôpitala – zwyczajowa nazwa twierdzenia rachunku różniczkowego i całkowego, które umożliwia wyznaczenie granic wyrażeń dających w wyniku symbol nieoznaczony.

Rys historyczny

Reguła ta została odkryta przez Jana Bernoulliego, opublikowana zaś przez jego ucznia Guillaume’a François Antoine’a de l’Hospitala. W 1696 Guillaume de l’Hospital wydał pierwszy podręcznik rachunku różniczkowego i całkowego L’Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes, w którym zawarte zostało dyskutowane tu twierdzenie. De l’Hospital nigdy nie twierdził, że jest autorem tego twierdzenia, niemniej jednak nazwa reguła de l’Hospitala jest powszechnie używana.

Reguła de l’Hospitala

Bezpośrednio z definicji pochodnej funkcji można wykazać następujące twierdzenie:

Jeżeli funkcje $f$ i $g$ są określone w przedziale otwartym zawierającym punkt $a$ oraz

1. $\lim _{x\to a}f(x)=0,$
2. $\lim _{x\to a}g(x)=0,$

oraz istnieją (skończone) pochodne $f'(a)$ i $g'(a),$ przy czym $g'(a)\neq 0,$

wówczas

$\lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {f'(a)}{g'(a)}}.$

Jeśli dodatkowo $f$ i $g$ mają ciągłe pochodne w punkcie $a,$ to:

$\lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}.$

Powyższe twierdzenie może być użyteczne w liczeniu granic wielu funkcji, np.

$\lim _{x\to 0}{\tfrac {e^{x}-e^{-x}}{\ln(e-x)+x-1}}=\lim _{x\to 0}{\tfrac {(e^{x}+e^{-x})}{{\tfrac {-1}{e-x}}+1}}=\lim _{x\to 0}{\tfrac {(e^{x}+e^{-x})}{\tfrac {-1+(e-x)}{e-x}}}=\lim _{x\to 0}{\tfrac {(e^{x}+e^{-x})(e-x)}{-1+(e-x)}}={\tfrac {2e}{e-1}}.$

Często zdarza się jednak, że funkcje $f$ i $g$ nie są określone w punkcie $a,$ jednak ich iloraz ma w tym punkcie granicę. Prawdziwe jest wówczas następujące twierdzenie, zwane regułą de l’Hospitala:

Wersja podstawowa (dla granic w punkcie)

Niech funkcje $f$ i $g$ będą określone w przedziale $(a,b]$ oraz

1. $\lim _{x\to a^{+}}f(x)=0,$
2. $\lim _{x\to a^{+}}g(x)=0,$

lub

1. $\lim _{x\to a^{+}}f(x)=\pm \infty ,$
2. $\lim _{x\to a^{+}}g(x)=\pm \infty ,$

oraz istnieją (skończone) pochodne $f'$ i $g'$ w przedziale $(a,b],$ przy czym $g'(x)\neq 0$ dla $x\in (a,b].$

Wówczas, jeśli istnieje granica

$\lim _{x\to a^{+}}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=K,$

to wtedy również

$\lim _{x\to a^{+}}{\frac {f(x)}{g(x)}}=K.$

Analogiczne twierdzenie jest też prawdziwe dla granic lewostronnych i obustronnych.

Wersja dla granic w nieskończoności

Niech funkcje $f$ i $g$ będą określone w przedziale $[c,\infty )$ oraz

1. $\lim _{x\to \infty }f(x)=0,$
2. $\lim _{x\to \infty }g(x)=0,$

lub

1. $\lim _{x\to \infty }f(x)=\pm \infty ,$
2. $\lim _{x\to \infty }g(x)=\pm \infty ,$

oraz istnieją (skończone) pochodne $f'$ i $g'$ w przedziale $[c,\infty ),$ przy czym $g'(x)\neq 0$ dla $x\in [c,\infty ).$

Wówczas, jeśli istnieje granica

$\lim _{x\to \infty }{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=K,$

to wtedy również

$\lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}=K.$

Analogiczne twierdzenie jest też prawdziwe dla granic gdy $x\to -\infty .$

Wersja twierdzenia dla funkcji n-krotnie różniczkowalnych

Jeżeli funkcje $f$ i $g$ są określone w przedziale otwartym $I$ zawierającym punkt $a$ oraz

1. w przedziale $I$ istnieją (skończone) pochodne wszystkich rzędów do $n$ włącznie funkcji $f$ i $g,$
2. $f(a)=f'(a)=\ldots =f^{(n-1)}(a)=0,$ $g(a)=g'(a)=\ldots =g^{(n-1)}(a)=0,$ oraz $g^{(n)}(a)\neq 0,$
3. $g(x)\neq 0$ dla $x\in I\setminus \{a\},$

wówczas

$\lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to a}{\frac {f^{(n)}(x)}{g^{(n)}(x)}}.$

Zastosowania

• Dla niektórych funkcji próba znalezienia ich granicy w pewnym punkcie poprzez podstawienie wartości x powoduje, że dochodzimy do wyrażenia nieoznaczonego:

$\lim _{x\to 0}~{\frac {\sin x}{x}}=\left[{\frac {\sin 0}{0}}\right]=\left[{\frac {0}{0}}\right]$

W takim przypadku stosujemy regułę de l’Hospitala, zamieniając licznik oraz mianownik wyrażenia na ich pochodne:

$\lim _{x\to 0}~{\frac {(\sin x)'}{(x)'}}=\lim _{x\to 0}~{\frac {\cos x}{1}}={\frac {1}{1}}=1$

Uwaga: nie jest to dowód! Przy obliczaniu pochodnej sinusa potrzebna jest wartość granicy $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}.$

• Twierdzenie to jest niezwykle przydatne przy obliczaniu granic funkcji.
• Niekiedy aby uzyskać wynik, należy obliczyć granice ilorazu kilku kolejnych pochodnych.

Zobacz też

• granica funkcji
• pochodna funkcji
• symbol nieoznaczony
• twierdzenie Stolza

Bibliografia

• Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy, t.1. Warszawa: PWN, 1966.