Równanie kwadratowe: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
m Anulowanie wersji 46882985 autora 83.5.45.225 (dyskusja)bez dwójki! bo jest jeszcze dzielenie -b± Δ przez 2a=2 i dwójka się skróci |
|||
Linia 1: | Linia 1: | ||
{{Dopracować|uzupełnić|2=historia, bardziej bezpośrednie odwołanie do funkcji kwadratowej (metoda graficzna), ogólniej o rezolwentach Lagrange’a (teraz połączone ze wzorami Viète’a, metody numeryczne (uwarunkowania), wprost o postaci monicznej (a = 1), pełniej o różnych ciałach (w tym charakterystyki 2 i rozszerzeniach; opisanie symbolu pierwiastka w ich kontekście)}} |
{{Dopracować|uzupełnić|2=historia, bardziej bezpośrednie odwołanie do funkcji kwadratowej (metoda graficzna), ogólniej o rezolwentach Lagrange’a (teraz połączone ze wzorami Viète’a), metody numeryczne (uwarunkowania), wprost o postaci monicznej (a = 1), pełniej o różnych ciałach (w tym charakterystyki 2 i rozszerzeniach; opisanie symbolu pierwiastka w ich kontekście)}} |
||
{{Inne znaczenia|równań kwadratowych i ich rozwiązań|[[funkcja kwadratowa]], gdzie opisano wielomiany kwadratowe w szerszym kontekście}} |
{{Inne znaczenia|równań kwadratowych i ich rozwiązań|[[funkcja kwadratowa]], gdzie opisano wielomiany kwadratowe w szerszym kontekście}} |
||
[[Plik:Quadratic equation coefficients.png|thumb|350px|[[Wykres (matematyka)|Wykres]] funkcji kwadratowej zmiennej [[liczby rzeczywiste|rzeczywistej]] przy zmianie różnych współczynników |
[[Plik:Quadratic equation coefficients.png|thumb|350px|[[Wykres (matematyka)|Wykres]] funkcji kwadratowej zmiennej [[liczby rzeczywiste|rzeczywistej]] przy zmianie różnych współczynników]] |
||
'''Równanie kwadratowe''' – [[równanie algebraiczne]] z jedną [[niewiadoma|niewiadomą]] w drugiej [[potęgowanie|potędze]] i opcjonalnie niższych. Innymi słowy [[wielomian#Równania wielomianowe|równanie wielomianowe]] drugiego [[stopień wielomianu|stopnia]], czyli równanie postaci |
'''Równanie kwadratowe''' – [[równanie algebraiczne]] z jedną [[niewiadoma|niewiadomą]] w drugiej [[potęgowanie|potędze]] i opcjonalnie niższych. Innymi słowy [[wielomian#Równania wielomianowe|równanie wielomianowe]] drugiego [[stopień wielomianu|stopnia]], czyli równanie postaci |
||
: <math>ax^2 + bx + c = 0 |
: <math>ax^2 + bx + c = 0,</math> |
||
gdzie <math>a, b, c</math> są jego ''współczynnikami'' rzeczywistymi, zespolonymi bądź są elementami dowolnego [[Ciało (matematyka)|ciała]]. Zakłada się, że <math>a \ne 0</math>, dzięki czemu równanie nie degeneruje się do [[równanie liniowe|równania liniowego]]. Współczynniki niekiedy nazywane są kolejno: ''kwadratowym'', ''liniowym'' i ''stałym'' (bądź ''wyrazem wolnym''). |
gdzie <math>a, b, c</math> są jego ''współczynnikami'' rzeczywistymi, zespolonymi bądź są elementami dowolnego [[Ciało (matematyka)|ciała]]. Zakłada się, że <math>a \ne 0</math>, dzięki czemu równanie nie degeneruje się do [[równanie liniowe|równania liniowego]]. Współczynniki niekiedy nazywane są kolejno: ''kwadratowym'', ''liniowym'' i ''stałym'' (bądź ''wyrazem wolnym''). |
||
Linia 11: | Linia 11: | ||
{{Zobacz też|równanie|wielomian}} |
{{Zobacz też|równanie|wielomian}} |
||
''Rozwiązaniem'' równania kwadratowego |
''Rozwiązaniem'' równania kwadratowego |
||
: <math>ax^2 + bx + c = 0 |
: <math>ax^2 + bx + c = 0</math> |
||
nazywa się każdą liczbę, która podstawiona w miejsce <math>x</math> daje po wykonaniu wszystkich działań równość. Jeżeli przedstawić powyższe równanie w ''postaci iloczynowej'', tzn. |
nazywa się każdą liczbę, która podstawiona w miejsce <math>x</math> daje po wykonaniu wszystkich działań równość. Jeżeli przedstawić powyższe równanie w ''postaci iloczynowej'', tzn. |
||
: <math>a(x - x_1)(x - x_2) = 0 |
: <math>a(x - x_1)(x - x_2) = 0,</math> |
||
dla pewnych liczb <math>x_1, x_2,</math> to jego rozwiązaniem jest dowolna z liczb <math>x_1, x_2,</math> gdyż podstawiona zamiast <math>x</math> sprawia, że lewa strona równości jest równa zeru. |
dla pewnych liczb <math>x_1, x_2,</math> to jego rozwiązaniem jest dowolna z liczb <math>x_1, x_2,</math> gdyż podstawiona zamiast <math>x</math> sprawia, że lewa strona równości jest równa zeru. |
||
W szczególności może być <math>x_1 = x_2,</math> wówczas postacią iloczynową równania wyjściowego jest |
W szczególności może być <math>x_1 = x_2,</math> wówczas postacią iloczynową równania wyjściowego jest |
||
: <math>a(x - x_1)^2 = 0. |
: <math>a(x - x_1)^2 = 0.</math> |
||
=== Wyróżnik === |
=== Wyróżnik === |
||
Linia 31: | Linia 31: | ||
Wyrażenie |
Wyrażenie |
||
: <math>\Delta = b^2 - 4ac |
: <math>\Delta = b^2 - 4ac</math> |
||
nazywa się '''wyróżnikiem''' równania kwadratowego. W szczególności jeżeli <math>\Delta = 0,</math> to |
nazywa się '''wyróżnikiem''' równania kwadratowego. W szczególności jeżeli <math>\Delta = 0,</math> to |
||
: <math>x_1 = x_2 = \tfrac{-b}{2a}.</math> |
: <math>x_1 = x_2 = \tfrac{-b}{2a}.</math> |
||
Linia 50: | Linia 50: | ||
; Przykłady |
; Przykłady |
||
* Równanie |
* Równanie |
||
:: <math>-2x^2 + 3x - 1 = 0 |
:: <math>-2x^2 + 3x - 1 = 0</math> |
||
: ma dwa rozwiązania, gdyż jego wyróżnik jest równy |
: ma dwa rozwiązania, gdyż jego wyróżnik jest równy |
||
:: <math>3^2 - 4(-2)(-1) = 1 > 0. |
:: <math>3^2 - 4(-2)(-1) = 1 > 0.</math> |
||
: Są nimi <math>x_1 = \tfrac{1}{2}</math> oraz <math>x_2 = 1.</math> |
: Są nimi <math>x_1 = \tfrac{1}{2}</math> oraz <math>x_2 = 1.</math> |
||
* Równanie |
* Równanie |
||
:: <math>x^2 + 2x = -4 |
:: <math>x^2 + 2x = -4</math> |
||
: po uporządkowaniu ma postać |
: po uporządkowaniu ma postać |
||
:: <math>x^2 + 2x + 4 = 0. |
:: <math>x^2 + 2x + 4 = 0.</math> |
||
: Nie ma rozwiązań rzeczywistych, gdyż |
: Nie ma rozwiązań rzeczywistych, gdyż |
||
:: <math>\Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = -12 < 0 |
:: <math>\Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = -12 < 0,</math> |
||
: jednak ma rozwiązania zespolone: ponieważ <math>\Delta = -12 = 12i^2,</math> to rozwiązania mają postać |
: jednak ma rozwiązania zespolone: ponieważ <math>\Delta = -12 = 12i^2,</math> to rozwiązania mają postać |
||
:: <math>x_{1, 2} = -1 \pm \sqrt 3i. |
:: <math>x_{1, 2} = -1 \pm \sqrt 3i.</math> |
||
* Równanie |
* Równanie |
||
:: <math>4x^2 + 4x + 1 = 0 |
:: <math>4x^2 + 4x + 1 = 0</math> |
||
: ma jedno rozwiązanie <math>x = -\tfrac{1}{2},</math> gdyż wyróżnik |
: ma jedno rozwiązanie <math>x = -\tfrac{1}{2},</math> gdyż wyróżnik |
||
:: <math>4^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 0. |
:: <math>4^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 0.</math> |
||
=== Wzory skróconego mnożenia === |
=== Wzory skróconego mnożenia === |
||
Linia 73: | Linia 73: | ||
; Przykłady |
; Przykłady |
||
* Równanie |
* Równanie |
||
:: <math>x^2 + 2x + 1 = 0</math> |
:: <math>x^2 + 2x + 1 = 0</math> |
||
: można zapisać korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy jako |
: można zapisać korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy jako |
||
:: <math>(x + 1)^2 = 0,</math> |
:: <math>(x + 1)^2 = 0,</math> |
||
: wtedy <math>x = -1</math> jest jedynym rozwiązaniem spełniającym powyższą równość. |
: wtedy <math>x = -1</math> jest jedynym rozwiązaniem spełniającym powyższą równość. |
||
* Ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów równanie |
* Ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów równanie |
||
:: <math>4x^2 - 1 = 0</math> |
:: <math>4x^2 - 1 = 0</math> |
||
: jest tożsame równaniu |
: jest tożsame równaniu |
||
:: <math>(2x - 1)(2x + 1) = 0,</math> |
:: <math>(2x - 1)(2x + 1) = 0,</math> |
||
Linia 115: | Linia 115: | ||
=== Dopełnianie do kwadratu === |
=== Dopełnianie do kwadratu === |
||
Zwykle wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia nie jest możliwe, jednak czasami drobne przekształcenia równania pozwalają uprościć proces wyznaczania rozwiązania; szczególnie, jeśli wyłącznie wyraz wolny stanowi przeszkodę. Niech |
Zwykle wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia nie jest możliwe, jednak czasami drobne przekształcenia równania pozwalają uprościć proces wyznaczania rozwiązania; szczególnie, jeśli wyłącznie wyraz wolny stanowi przeszkodę. Niech |
||
: <math>x^2 + bx + d = 0</math> |
: <math>x^2 + bx + d = 0</math> |
||
będzie równaniem, którego rozwiązania są poszukiwane. Jeżeli |
będzie równaniem, którego rozwiązania są poszukiwane. Jeżeli |
||
Linia 174: | Linia 174: | ||
* [[równanie sześcienne]] |
* [[równanie sześcienne]] |
||
* [[równanie czwartego stopnia]] ([[równanie czwartego stopnia#Równanie dwukwadratowe|równanie dwukwadratowe]]) |
* [[równanie czwartego stopnia]] ([[równanie czwartego stopnia#Równanie dwukwadratowe|równanie dwukwadratowe]]) |
||
* [[okrąg |
* [[okrąg Carlyle’a]] |
||
[[Kategoria:Równania algebraiczne]] |
[[Kategoria:Równania algebraiczne]] |
Wersja z 17:43, 31 sty 2018
|
Ten artykuł wymaga uzupełnienia informacji. |
Równanie kwadratowe – równanie algebraiczne z jedną niewiadomą w drugiej potędze i opcjonalnie niższych. Innymi słowy równanie wielomianowe drugiego stopnia, czyli równanie postaci
gdzie są jego współczynnikami rzeczywistymi, zespolonymi bądź są elementami dowolnego ciała. Zakłada się, że , dzięki czemu równanie nie degeneruje się do równania liniowego. Współczynniki niekiedy nazywane są kolejno: kwadratowym, liniowym i stałym (bądź wyrazem wolnym).
Inną nazwą równania kwadratowego jest równanie drugiego stopnia.
Rozwiązania
- Zobacz też:
Rozwiązaniem równania kwadratowego
nazywa się każdą liczbę, która podstawiona w miejsce daje po wykonaniu wszystkich działań równość. Jeżeli przedstawić powyższe równanie w postaci iloczynowej, tzn.
dla pewnych liczb to jego rozwiązaniem jest dowolna z liczb gdyż podstawiona zamiast sprawia, że lewa strona równości jest równa zeru.
W szczególności może być wówczas postacią iloczynową równania wyjściowego jest
Wyróżnik
- Zobacz też:
Ponieważ
(piąta równość zachodzi na podstawie wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów), to pierwiastkami tego wielomianu są wielkości
oraz
Wyrażenie
nazywa się wyróżnikiem równania kwadratowego. W szczególności jeżeli to
Powyższe równości są prawdziwe w dziedzinie zespolonej – w szczególności, gdy to
gdzie jest jednostką urojoną, a wyrażenie pod pierwiastkiem po prawej stronie jest dodatnią wielkością rzeczywistą. Wtedy też równanie ma dwa sprzężone ze sobą rozwiązania zespolone, których część rzeczywista wynosi Jeżeli to rozwiązaniami są liczby rzeczywiste symetryczne względem Przypadki dla można podsumować zdaniem: średnia arytmetyczna pierwiastków wynosi (por. wzory Viète’a).
Równanie kwadratowe ma rozwiązanie w dziedzinie rzeczywistej, o ile Dokładniej, jeśli:
- to równanie ma dwa rozwiązania rzeczywiste (dwa pierwiastki rzeczywiste);
- to równanie ma jedno rozwiązanie rzeczywiste (podwójny pierwiastek rzeczywisty);
- to równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych.
Rozwiązania korzystające z wyróżnika są poprawne także nad skończonymi ciałami gdzie jest pewną liczbą pierwszą większą od 2.
- Przykłady
- Równanie
- ma dwa rozwiązania, gdyż jego wyróżnik jest równy
- Są nimi oraz
- Równanie
- po uporządkowaniu ma postać
- Nie ma rozwiązań rzeczywistych, gdyż
- jednak ma rozwiązania zespolone: ponieważ to rozwiązania mają postać
- Równanie
- ma jedno rozwiązanie gdyż wyróżnik
Wzory skróconego mnożenia
- Zobacz też:
Równania kwadratowe można niekiedy przedstawić w postaci iloczynowej wprost ze wzorów skróconego mnożenia.
- Przykłady
- Równanie
- można zapisać korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy jako
- wtedy jest jedynym rozwiązaniem spełniającym powyższą równość.
- Ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów równanie
- jest tożsame równaniu
- skąd musi być
- lub
- tzn. rozwiązaniami jest każda z liczb
- oraz
Wzory Viète’a
- Zobacz też:
Znając jedno rozwiązanie można wskazać drugie korzystając z tzw. wzorów Viète’a, które dla wielomianu mają postać
Przykładem ich zastosowania może być następujący przypadek szczególny: jeżeli współczynniki wielomianu
spełniają równości i to można go zapisać jako
Oznacza to, że rozwiązaniami równania
którego współczynniki spełniają powyższe tożsamości są liczby
- oraz
- Przykłady
- Równanie
- daje się przedstawić w postaci
- skąd otrzymuje się rozwiązania
- oraz
- Równanie
- można zapisać jako
- co oznacza, że rozwiązaniami są liczby
- oraz
Dopełnianie do kwadratu
Zwykle wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia nie jest możliwe, jednak czasami drobne przekształcenia równania pozwalają uprościć proces wyznaczania rozwiązania; szczególnie, jeśli wyłącznie wyraz wolny stanowi przeszkodę. Niech
będzie równaniem, którego rozwiązania są poszukiwane. Jeżeli
to wyjściowe równanie można przekształcić następująco:
skąd
a skorzystawszy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów otrzymuje się
co daje rozwiązania
- oraz
Podobnie jak objaśniono to wyżej, rozwiązanie rzeczywiste istnieje wyłącznie, gdy
- Przykłady
- Równanie
- jest tożsame następującemu
- kontynuując uzyskuje się
- co jest równoważne
- oraz
- a więc rozwiązaniami są
- oraz
Współczynniki całkowite
Istnieje prosta metoda wyznaczania pierwiastków wymiernych równania kwadratowego o współczynnikach całkowitych, czyli postaci
- ,
gdzie są liczbami całkowitymi (jeżeli są liczbami wymiernymi, spośród których choć jedna nie jest całkowita, to równanie można pomnożyć stronami przez najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników tych współczynników uzyskując równanie równoważne, tj. o jednakowym zbiorze rozwiązań). Dokładniej:
- Jeżeli liczba wymierna , gdzie i są względnie pierwszymi liczbami całkowitymi (tzn. ich największy wspólny dzielnik jest równy 1) jest pierwiastkiem powyższego, to jest dzielnikiem , a jest dzielnikiem .
Powyższe twierdzenie jest prawdziwe także dla wielomianów wyższych stopni.
- Przykłady
- Rozwiązaniami wymiernymi równania
- mogą być tylko liczby należące do zbioru . Podstawiając otrzymuje się wyraźnie dużą liczbę dodatnią po lewej stronie; podstawienie daje ; liczba podstawiona do równania daje po lewej stronie wartość ; liczba jest rozwiązaniem powyższego równania (drugim jest ).
Inne
Jeżeli suma współczynników równania
jest równa zeru, tzn. to wśród jego rozwiązań znajduje się liczba (por. przykład z powyższej sekcji). Jeżeli to liczba jest pierwiastkiem tego równania.
- Przykład
- Równanie
- na mocy powyższego faktu ma pierwiastek równy