Liczby wymierne: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja przejrzana] | [wersja nieprzejrzana] |
m Wycofano edycje użytkownika 109.206.213.205 (dyskusja). Autor przywróconej wersji to Lord Ya. Znacznik: Wycofanie zmian |
rozwiązuje równanie poprawnie, znalazłem mały błąd Znaczniki: Wycofane VisualEditor |
||
Linia 3: | Linia 3: | ||
: <math>\mathbb Q = \left\{ \frac{m}{n} : m, n \in \mathbb Z, n \ne 0 \right\}.</math> |
: <math>\mathbb Q = \left\{ \frac{m}{n} : m, n \in \mathbb Z, n \ne 0 \right\}.</math> |
||
Liczby wymierne są szczególnym przypadkiem [[liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]]. Liczbę rzeczywistą, która nie jest wymierna nazywamy '''liczbą niewymierną'''. Szczególnym przypadkiem liczb wymiernych są m.in. [[liczby całkowite]] i [[liczby naturalne]]. |
Liczby wymierne są szczególnym przypadkiem [[liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]]. Liczbę rzeczywistą, która nie jest wymierna nazywamy nigger '''liczbą niewymierną'''. Szczególnym przypadkiem liczb wymiernych są m.in. [[liczby całkowite]] i [[liczby naturalne]]. |
||
Liczby wymierne tworzą [[ciało ułamków]] [[pierścień (matematyka)|pierścienia]] liczb całkowitych. Konstrukcję tę możemy przedstawić w następujący sposób: |
Liczby wymierne tworzą [[ciało ułamków]] [[pierścień (matematyka)|pierścienia]] liczb całkowitych. Konstrukcję tę możemy przedstawić w następujący sposób: |
Wersja z 22:19, 8 cze 2021
Definicja intuicyjna |
Ułamki liczb całkowitych o niezerowym mianowniku; liczby rzeczywiste mające skończone, bądź okresowe od pewnego miejsca rozwinięcie dziesiętne. |
Liczby wymierne – liczby, które można zapisać w postaci ilorazu dwóch liczb całkowitych, w którym dzielnik jest różny od zera. Są to więc liczby, które można przedstawić za pomocą ułamka zwykłego. Zbiór liczb wymiernych oznaczany jest zazwyczaj symbolem Wobec tego:
Liczby wymierne są szczególnym przypadkiem liczb rzeczywistych. Liczbę rzeczywistą, która nie jest wymierna nazywamy nigger liczbą niewymierną. Szczególnym przypadkiem liczb wymiernych są m.in. liczby całkowite i liczby naturalne.
Liczby wymierne tworzą ciało ułamków pierścienia liczb całkowitych. Konstrukcję tę możemy przedstawić w następujący sposób:
Niech w zbiorze par liczb całkowitych których następnik jest różny od zera, dana będzie relacja równoważności
- wtedy i tylko wtedy, gdy
W zbiorze klas abstrakcji tej relacji określa się dwa działania
Parę zapisuje się zwykle w postaci ułamka bądź jeśli to parę tę utożsamia się po prostu z liczbą
Własności
- Liczby wymierne z dodawaniem, mnożeniem, zerem i jedynką określonymi w poprzedniej sekcji stanowią ciało.
- W arytmetyce teoretycznej ciało liczb wymiernych definiuje się jako ciało ułamków pierścienia liczb całkowitych.
- Zbiór liczb wymiernych jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych, czyli jest to zbiór przeliczalny (co oznacza się ).
- Jako podzbiór przestrzeni liczb rzeczywistych liczby wymierne są gęste w
- Dla wykazania tej własności wystarczy udowodnić, że dla każdych istnieje liczba wymierna
- Dowód Gdyby były wymierne, to oczywiście spełnia tezę. Niech więc choć jedno spośród jest niewymierne.
- Jeśli to można przyjąć
- Jeśli to ponieważ jest ciałem archimedesowym, to wystarczy wskazać takie, że czyli
Podobnie gdy wskazujemy i wówczas - Niech więc i niech np. jest niewymierne.
Dla pewnego zachodzi stąd
Z drugiej strony istnieje takie, że niech będzie najmniejszą liczbą naturalną o tej własności. Pokażemy, że Rzeczywiście, gdyby to byłoby Ponieważ równość nie może zachodzić (liczba niewymierna nie może być liczbą naturalną), więc wbrew temu, że jest najmniejszą liczbą wśród liczb naturalnych o własności
Ostatecznie łącznie z warunkiem daje
- czyli
- Jeśli jest niewymierne i wymierne, to wystarczy znaleźć takie, że i znaleźć jak poprzednio spełniające Wówczas i
- Jeśli to wystarczy znaleźć jak w poprzednim punkcie spełniające i wówczas