Macierz Grama

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ten artykuł dotyczy macierzy (abstrakcyjnego) iloczynu skalarnego. Zobacz też: macierze ogólnych form dwuliniowej lub półtoraliniowej (bądź hermitowskiej).

Macierz Gramamacierz związana z układem wektorów danej przestrzeni unitarnej, ułatwiająca opis tej przestrzeni; nosi ona nazwisko duńskiego matematyka Jørgena Pedersena Grama.

Choć zwykle wykorzystuje się do tego celu objętości prostopadłościanów wielowymiarowych, to do zdefiniowania miary Lebesgue'a na przestrzeni euklidesowej (a dokładniej przy określaniu miary zewnętrznej, która jest krokiem pośrednim) można użyć objętości równoległościanów wielowymiarowych (wyznaczanych przez dany układ wektorów) definiowanej za pomocą macierzy Grama. Objętość równoległościanu pojawia się także przy całkowaniu przez podstawienie (zamianie zmiennych) w całce Lebesgue'a, często jako tzw. forma objętości (antysymetryczna forma wieloliniowa najwyższego rzędu w danej przestrzeni liniowej), czyli zorientowany element objętości.

Jednym z najistotniejszych praktycznych zastosowań tej macierzy kwadratowej jest możliwość stwierdzenia, czy dany układ wektorów przestrzeni -wymiarowej jest liniowo niezależny − macierz ta musi mieć dodatni wyznacznik (dla wystarczy sprawdzić niezerowość wyznacznika samego układu wektorów) – geometrycznie odpowiada to sprawdzeniu, czy dany układ wektorów rozpina równoległościan o dodatniej objętości; kryterium to wykorzystuje się m.in. określania sterowalności i obserwowalności liniowego układu sterowania.

Definicja[edytuj]

Niech dany będzie układ wektorów -wymiarowej przestrzeni unitarnej nad ciałem liczb rzeczywistych bądź zespolonych. Wektory układu wyrażone w bazie można wpisać jako kolumny macierzy (zob. wektory kolumnowe)[1].

Macierzą Grama związaną z układem bądź macierzą nazywa się macierz kwadratową stopnia nad ciałem liczb rzeczywistych

Wyznacznik tej macierzy nazywa się wyznacznikiem Grama wspomnianego układu wektorów (wspomnianej macierzy),

Własności[edytuj]

 Zobacz też: liniowa niezależność.

W przypadku rzeczywistym z symetryczności dwuliniowego iloczynu skalarnego wynika (w przypadku zespolonym na mocy hermitowskości półtoraliniowego iloczynu skalarnego) dla dowolnych a więc macierz Grama również jest symetryczna (hermitowska, czyli samosprzężona). Niżej przedstawiono własności w przypadku zespolonym; dla przypadku rzeczywistego wystarczy pominąć kreski nad elementami i macierzami oznaczające sprzężenie zespolone, a sprzężoną hermitowsko macierz należy traktować jak macierz transponowaną

Dla dowolnej macierzy zachodzi

tzn. oraz są macierzami Grama układu wektorów wpisanego odpowiednio jako kolumny i wiersze macierzy [2]

Jeśli czyli jest kwadratowa, to wyznacznik macierzy Grama jest nieujemną wielkością rzeczywistą, gdyż

Układ jest liniowo niezależny wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik [3]

O tym, które z macierzy hermitowskich (symetrycznych) są macierzami Grama, czy też dokładniej: czy istnieje taka przestrzeń unitarna, dla której dana macierz hermitowska (symetryczna) jest macierzą Grama pewnej bazy tej przestrzeni, mówi kryterium Sylvestera. Formalnie warunek ten umożliwia sprawdzenie, czy dana macierz dwuliniowej formy hermitowskiej (symetrycznej) jest dodatnio określona − forma ta wówczas jest iloczynem skalarnym na tej przestrzeni.

Objętość[edytuj]

Niech dany będzie liniowo niezależny układ wektorów przestrzeni unitarnej wymiaru Jeśli oznacza -wymiarowy równoległościan rozpięty na to jego -wymiarową objętością nazywa się liczbę

Ponadto przyjmuje się dla oraz dla

Niech Jeśli jest rzutem prostopadłym wektora na dopełnienie ortogonalne podprzestrzeni rozpiętej przez to wtedy

[4]

Dla przestrzeni rzeczywistych twierdzenie to można wysłowić w przypadku dwuwymiarowym w następujący sposób: pole równoległoboku równe jest iloczynowi długości podstawy i wysokości; w przypadku trójwymiarowym: objętość równoległościanu jest równa iloczynowi pola podstawy i wysokości. W ogólności zaś:

Zgodnie z uwagami z poprzedniej sekcji, jeśli ze standardowym iloczynem skalarnym, to dla dowolnej macierzy odwracalnej moduł wyznacznika

gdzie dla można jest -wymiarową objętością równoległościanu w rozpiętego na kolumnach bądź wierszach macierzy Biorąc pod uwagę orientację bazy wyznacznik należy interpretować jako -wymiarową zorientowaną objętość wspomnianego równoległościanu. Jeśli macierz nie jest odwracalna, to jej wiersze (i kolumny) są liniowo zależne, skąd Analogiczną interpretację uzyskuje się w przypadku przestrzeni

Iloczyn wektorowy[edytuj]

Wybór iloczynu skalarnego i orientacji w -wymiarowej przestrzeni liniowej nad umożliwia podanie metody dopełniania liniowo niezależnego układu wektorów do bazy tej przestrzeni. Iloczynem wektorowym liniowo niezależnego układu nazywa się taki wektor zorientowanej przestrzeni unitarnej rzeczywistej, że

  • jeśli jest liniowo zależny, to
  • jeśli jest liniowo niezależny, to oraz przy czym baza jest dodatnio zorientowana.

Innymi słowy wektor oznaczany zwykle jest prostopadły do każdego z wektorów układu jego moduł jest równy objętości równoległoboku rozpiętego na a dołączony na końcu tworzy z wektorami tego układu bazę dodatnio zorientowaną.

Uogólnienia[edytuj]

W przypadku zespolonych przestrzeni unitarnych iloczyn skalarny jest dodatnio określoną (a stąd niezdegenerowaną) półtoraliniową formą hermitowską (tzn. samosprzężoną), w przestrzeniach rzeczywistych iloczyn skalarny jest dodatnio określoną dwuliniową formą symetryczną. Rezygnując z warunku dodatniej określoności i hermitowskości (bądź symetryczności) można rozpatrywać przestrzeń z formą półtoraliniową (dwuliniową) − macierzy Grama odpowiada wtedy macierz tej formy w ustalonej bazie. Przestrzeń liniową z symetryczną formą dwuliniową nazywa się przestrzenią ortogonalną. Badanie form kwadratowych pochodzących od form dwuliniowych umożliwia przykładowo klasyfikację właściwych hiperpowierzchni właściwych stopnia 2 nazywanych kwadrykami, w tym hiperpowierzchni właściwych przestrzeni euklidesowych wymiaru 2 i 3, tzn. pewnych krzywych w przestrzeni oraz pewnych powierzchni w

Iloczyn mieszany trzech wektorów trójwymiarowej przestrzeni liniowej można zdefiniować za pomocą wyznacznika macierzy, w której wektory te są kolumnami (bądź wierszami) albo niezależnie od układu współrzędnych za pomocą iloczynu zewnętrznego tych wektorów. Podobnie dla równoległościanu zorientowanego

można określić również jego -wymiarową objętość wzorem

skąd wartość wyznacznika Grama można określić niezależnie od współrzędnych wektorów jako

Bibliografia[edytuj]

  • Franciszek Leja: Rachunek różniczkowy i całkowy. Warszawa: PWN, 1976.
  • S. Zakrzewski: Algebra i geometria. Warszawa.

Przypisy

  1. Każdy z wektorów układu można wyrazić w bazie ortonormalnej tzn. dla Wówczas jest macierzą typu
  2. Niech wektory wyrażone w bazie ortonormalnej odpowiadają kolumnom macierzy Ponieważ dla oraz w pozostałych przypadkach, to
    jest wyrazem macierzy
  3. Niech będzie podprzestrzenią unitarną rozpiętą przez układ wektorów o współrzędnych w bazie ortonormalnej Jeśli układ jest liniowo niezależny, to a więc jest on bazą przestrzeni i macierz jest odwracalna, gdyż Stąd czyli Z drugiej strony jeśli układ jest liniowo zależny, to liniowo zależne są również kolumny Z interpretacji mnożenia macierzy metodą współczynniki-wektory kolumny macierzy są kombinacjami liniowymi kolumn macierzy skąd wynika, że kolumny również są liniowo zależne, a więc
  4. Niech wtedy Niech gdzie zaś Wówczas wyrazy postaci w ostatnim wierszu oraz wyrazy postaci w ostatniej kolumnie rozkładają się na sumy oraz Składniki zawierające można pominąć przy liczeniu wyznacznika, gdyż ostatni wiersz je zawierający jest kombinacją liniową pierwszych wierszy macierzy (gdyż jest kombinacją liniową ), podobnie ma się rzecz z ostatnią kolumną. W związku z tym
    a ponieważ czyli dla to