Stożek (topologia)

Stożek okręgu. Podstawa stożka jest niebieska, a ściągnięty punkt jest zielony.

W topologii, w szczególności w topologii algebraicznej, stożkiem $CX$ nad przestrzenią topologiczną $X$ jest przestrzeń ilorazowa:

$CX=(X\times I)/(X\times \{0\})$

iloczynu przestrzeni $X$ przez przedział jednostkowy $I=[0,1].$

Intuicyjnie nad przestrzenią $X$ tworzymy walec i ściągamy jeden z końców walca do punktu.

Jeśli $X$ jest podprzestrzenią przestrzeni euklidesowej, to stożek nad $X$ jest homeomorficzny z sumą odcinków łączących punkty przestrzeni $X$ z pewnym punktem zewnętrznym. W tym sensie stożek topologiczny jest identyczny ze stożkiem geometrycznym. Pojęcie stożka topologicznego jest znacznie bardziej ogólne.

Przykłady

• Stożek nad punktem $p$ jest homeomorficzny z przedziałem $I=[0;1].$
• Stożek nad dwoma punktami $0,1$ ma kształt litery „V”.
• Stożek nad przedziałem $I=[0;1]$ osi rzeczywistej jest trójkątem, zwanym inaczej 2-sympleksem.
• Stożek nad wielokątem $P$ jest ostrosłupem o podstawie $P.$
• Stożek nad kołem jest stożkiem w sensie geometrii klasycznej.
• Stożek nad okręgiem jest powierzchnia boczna stożka:

$\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}=z^{2}\land 0\leqslant z\leqslant 1\}.$

Jest on homeomorficzny z domkniętym kołem.

• Ogólnie, stożek nad n-sferą jest homeomorficzny z domkniętą $(n+1)$-kulą.
• Stożek nad $n$-sympleksem jest $(n+1)$-sympleksem.

Własności

Wszystkie stożki są łukowo spójne, ponieważ każdy jego punkt może być połączony odcinkiem z wierzchołkiem stożka. Ponadto każdy stożek jest ściągalny do wierzchołka za pomocą homotopii

$h_{t}(x,s)=(x,(1-t)s).$

Stożek jest używany w topologii algebraicznej, bo zawiera przestrzeń $X$ jako podprzestrzeń przestrzeni ściągalnej.

Stożek zredukowany

Jeśli $(X,x_{0})$ jest przestrzenią punktowaną, to istnieje konstrukcja stożka zredukowanego:

$X\times [0,1]/(X\times \{0\})\cup (\left\{x_{0}\right\}\times [0,1])$

Kompleksy łańcuchowe

• Stożkiem przekształcenia łańcuchowego $f\colon K\to L$ nazywamy kompleks łańcuchowy $Cf,$ w którym:

$(Cf)_{n}=L_{n}\oplus K_{n-1},$

$\partial ^{Cf}(y,x)=(\partial ^{L}y+fx,-\partial ^{K}x),$ gdzie $(y,x)\in Cf.$

Konstrukcji tej odpowiada następująca konstrukcja geometryczna:

w iloczynie wielościanu $K$ przez odcinek jednostkowy $K\times I,$ gdzie $I=\langle 0;1\rangle$ ściągamy do punktu podstawę iloczynu $K\times \{0\},$ a drugą podstawę $K\times \{1\}$ doklejamy do wielościanu $L$ za pomocą przekształcenia $f\colon K\to L,$ co sprowadza się do podzielenia sumy rozłącznej wielościanów $(X\times I)\sqcup Y$ przez relacje $(x,0)\sim (x',0)$ i $(x,1)\sim f(x)$ dla dowolnych $x,x'\in X.$

Stożek przekształcenia łańcuchowego identycznościowego $id\colon K\to K$ nazywa się stożkiem nad kompleksem $K$ i oznacza się go $CK.$

Ma wtedy miejsce krótki ciąg dokładny:

$0\to K\ {\xrightarrow {\iota }}\ CK\ {\xrightarrow {\varkappa }}\ K^{+}\to 0$

gdzie $K^{+}$ jest zawieszeniem kompleksu $K,$ a $\iota$ i $\varkappa$ są przekształceniami łańcuchowymi określonymi wzorami:

$\iota y=(y,0),\varkappa (x,y)=x.$

Funktor stożkowy

Odwzorowanie $X\mapsto CX$ generuje funktor $C\colon \mathbf {Top} \to \mathbf {Top}$ na kategorii przestrzeni topologicznych Top.

Zobacz też

• zawieszenie (topologia)

Bibliografia

• Allen Hatcher: Algebraic topology. Cambridge: Cambridge University Press, 2002. ISBN 0-521-79160-X.brak strony w książce
• Dold A.: Lectures on algebraic topology. Berlin Heidelberg New York: Springer Verlag, 1972.brak strony w książce
• Marvin Greenberg: Wykłady z topologii algebraicznej. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1980. ISBN 83-01-00415-0.brak strony w książce