Stożek (topologia)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Stożek okręgu. Podstawa stożka jest niebieska, a ściągnięty punkt jest zielony.

W topologii, w szczególności w topologii algebraicznej, stożkiem CX nad przestrzenią topologiczną X jest przestrzeń ilorazowa:

iloczynu przestrzeni X przez przedział jednostkowy I = [0, 1]. Intuicyjnie nad przestrzenią X tworzymy walec i ściągamy jeden z końców walca do punktu.

Jeśli X jest podprzestrzenią przestrzeni euklidesowej, to stożek nad X jest homeomorficzny z sumą odcinków łączących punkty przestrzeni X z pewnym punktem zewnętrznym. W tym sensie stożek topologiczny jest identyczny ze stożkiem geometrycznym. Pojęcie stożka topologicznego jest znacznie bardziej ogólne.

Przykłady[edytuj]

Jest on homeomorficzny z domkniętym kołem.

Własności[edytuj]

Wszystkie stożki są łukowo spójne ponieważ każdy jego punkt może być połączony odcinkiem z wierzchołkiem stożka. Ponadto każdy stożek jest ściągalny do wierzchołka za pomocą homotopii

ht(x,s) = (x, (1−t)s).

Stożek jest używany w topologii algebraicznej, bo zawiera przestrzeń X jako podprzestrzeń przestrzeni ściągalnej.

Stożek zredukowany[edytuj]

Jeśli jest przestrzenią punktowaną, to istnieje konstrukcja stożka zredukowanego:

Kompleksy łańcuchowe[edytuj]

  • 'Stożkiem przekształcenia łańcuchowego nazywamy kompleks łańcuchowy , w którym:
, gdzie

Konstrukcji tej odpowiada następująca konstrukcja geometryczna:

w iloczynie wielościanu przez odcinek jednostkowy , gdzie ściągamy do punktu podstawę iloczynu , a drugą podstawę doklejamy do wielościanu za pomocą przekształcenia , co sprowadza się do podzielenia sumy rozłącznej wielościanów przez relacje i dla dowolnych .

Stożek przekształcenia łańcuchowego identycznościowego nazywa się stożkiem nad kompleksem i oznacza się go .

Ma wtedy miejsce krótki ciąg dokładny:

'

gdzie jest zawieszeniem kompleksu , a i są przekształceniami łańcuchowymi określonymi wzorami:

.

Funktor stożkowy[edytuj]

Odwzorowanie generuje funktor na kategorii przestrzeni topologicznych Top.

Zobacz też[edytuj]

Bibliografia[edytuj]

  1. Allen Hatcher: Algebraic topology. Cambridge: Cambridge University Presses, 2002. ISBN 0-521-79160-X.
  2. Dold A.: Lectures on algebraic topology. Berlin Heidelberg New York: Springer Verlag, 1972.
  3. Marvin Greenberg: Wykłady z topologii algebraicznej. Warszawa: PWN, 1980. ISBN 83-01-00415-0.