Punkt (topologia)

Punkt – element przestrzeni topologicznej. W zależności od rodzaju przestrzeni, jej punktami mogą być: liczby, ciągi liczbowe (skończone lub nieskończone), punkty przestrzeni euklidesowej, punkty rozmaitości topologicznej, funkcje, ideały pierwsze pierścienia przemiennego, ideały maksymalne algebr Banacha, elementy różnych struktur algebraicznych itp.

Przykłady

• W przestrzeni $\mathbb {R} ^{n}$ punktem jest ciąg $n$-elementowy $(x_{1},\dots ,x_{n}).$
• Na płaszczyźnie zespolonej punktami są liczby zespolone.
• W przestrzeni Hilberta $\ell _{2}$ punktami są nieskończone ciągi liczbowe $(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},\dots ),$ dla których szereg $\sum \limits _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{2}$ jest zbieżny.
• W przestrzeni funkcyjnej punktami są funkcje. Na przykład w przestrzeni $C[a,b]$ punktami są funkcje ciągłe $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$.
• W przestrzeni sprzężonej z przestrzenią unormowaną $E$ z topologią silną (albo słabą) punktami są funkcjonały liniowe na $E$.
• Punktami spektrum ${\text{Spec}}(R)$ pierścienia przemiennego $R$ z jedynką są jego ideały pierwsze.
• Dla przemiennej algebry Banacha $A$ zbiór jej ideałów maksymalnych można utożsamiać z podprzestrzenią topologiczną sfery jednostkowej przestrzeni sprzężonej $A^{*}$ z *-słabą topologią. Zatem w tej przestrzeni punktami są ideały maksymalne algebry Banacha.
• Elementami grupy topologicznej $SO(3)$ są macierze ortogonalne rzędu $3\times 3$ o wyznaczniku równym 1. Macierze te mogą być interpretowane jako punkty trójwymiarowej przestrzeni rzutowej $\mathbb {R} P^{3},$ bo obie te przestrzenie są homeomorficzne.

Własności

• W przestrzeni T₁ każdy punkt jest zbiorem domkniętym.
• Jeżeli przestrzeń T₁ ma skończoną liczbę punktów, to każdy jej podzbiór jest zarówno domknięty, jak i otwarty. W szczególności każdy jej punkt jest domknięto-otwarty.
• Każdą przestrzeń lokalnie zwartą $X$ można uzwarcić dodając do niej jeden punkt $p,$ a do bazy zbiorów otwartych – dopełnienia podzbiorów zwartych $Z$ zbioru $X,$ czyli zbiory $\{p\}\cup X\setminus Z$ (twierdzenie Aleksandrowa). W szczególności okrąg jednostkowy jest uzwarceniem prostej $\{(x,y):y=0\}$ za pomocą punktu $(0,1),$ a sfera jednostkowa $\{(x,y,z):x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\}$ jest uzwarceniem płaszczyzny $\{(x,y,z):z=0\}$ za pomocą punktu $(0,0,1)$.

Bibliografia

• Roman Duda: Wprowadzenie do topologii. T. 1. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1986. ISBN 83-01-05714-9.
• Kazimierz Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Warszawa: PWN, 1962.
• Колмогоров А.Н., Фомин С.В.: Элементы теории функций и функционального анализа. Москва: Наука, 1989. Brak numerów stron w książce
• Theodore Gamelin: Uniform Algebras. Englewood Cliffs, 1969. Brak numerów stron w książce
• Ryszard Engelking: Topologia ogólna. T. 47. Warszawa: PWN, 1975. Brak numerów stron w książce
• Atiyah M.F., Macdonald I.G.: Introduction to commutative algebra. Addison-Wesley, 1969. Brak numerów stron w książce