Samopodobieństwo

A Krzywa Kocha przejawia nieskończenie powtarzalne samopodobieństwo podczas powiększania.

Trójkąt Sierpińskiego

Samopodobieństwo – w matematyce właściwość zbioru, w której kształt całego zbioru jest podobny do fragmentu tego zbioru (jednego lub kilku). Wiele obiektów w świecie rzeczywistym, jak np. linia brzegowa, są statystycznie samopodobne: ich fragmenty przejawiają takie same statystyczne właściwości w wielu różnych skalach. Samopodobieństwo jest typową własnością fraktali.

Dokładnym ilustracją samopodobieństwa jest niezmienniczość względem skali, w którym dowolne powiększenie fragmentu zbioru jest podobne do całości. Na przykład boczny fragment krzywej Kocha jest zarówno symetryczny jak i niezmienniczy względem skali; każdorazowe 3-krotne powiększenie nie zmienia jego kształtu.

Definicja

Zwarta przestrzeń topologiczna X jest samopodobna jeśli istnieje w niej zbiór skończony S indeksujący zbiór homeomorfizmów nie będących suriekcjami $\{f_{s}\}_{s\in S}$ dla których

$X=\cup _{s\in S}f_{s}(X)$

Jeśli $X\subset Y$, to określa się, że X jest samopodobny jeśli jest to jedyny nie pusty podzbiór z Y taki, że równanie powyżej zachodzi dla $\{f_{s}\}_{s\in S}$. Trójkę

${\mathfrak {L}}=(X,S,\{f_{s}\}_{s\in S})$

nazywa się strukturą samopodobną. Homeomorfizm może być funkcją iterowaną co w efekcie tworzy system funkcji iterowanych. Złożenie funkcji tworzy strukturę algebraiczną zwaną monoidem. Kiedy zbiór S ma tylko dwa elementy, to monoid określa się jako monoid diadyczny. Monoid diadyczny można zobrazować jako nieskończone drzewo binarne; uogólniając, jeśli zbiór S ma p elementów, to monoid można zaprezentować jako drzewo p-adyczne.

Przykłady

Samopodobieństwo w zbiorze Mandelbrota ukazane przez powiększanie w pukncie Feigenbauma w (−1.401155189..., 0)

Obraz paproci odkrywający samopodobieństwo przekształceń afinicznych

Zbiór Mandelbrota jest samopodobny w otoczeniu punktu Misiurewicza.

Samopodobieństwo ma ważne konsekwencje w projektowaniu sieci komputerowych, gdyż ruch w sieci ma właściwości samopodobieństwa. Na przykład w inżynierii telekomunikacji transmisja danych komutowanych przejawia właściwości samopodobieństwa. Właściwość ta oznacza, że proste modele bazujące na rozkładzie Poissona są niedokładne a sieci zaprojektowane bez uwzględnienia samopodobieństwa mogą zachowywać się nieprzewidywalnie.

Podobnie zmiany na rynku akcji są opisywane jako samoprzekształcenia afiniczne, tj. wydają się być samopodobne po przekształceniu przez odpowiednie przekształcenie afiniczne na poziome obserwowanego szczegółu.

Samopodobieństwo można znaleźć również w naturze. Po prawej znajduje się matematycznie wygenerowany, idealnie samopodobny obraz paproci, który ma wyraźne podobieństwo do paproci naturalnych.

Zobacz też

• Efekt Droste
• Rekurencja
• Rozkład Zipfa