Funkcja "na"

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
W surjekcji każdemu elementowi przeciwdziedziny odpowiada co najmniej jeden element dziedziny

Funkcja „na” a. surjekcja [1][2] pisane też czasami jako suriekcja[3][4]funkcja przyjmująca jako swoje wartości wszystkie elementy przeciwdziedziny, tj. której obraz jest równy przeciwdziedzinie.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech X oraz Y będą dowolnymi zbiorami. Funkcja f\colon X \to Y odwzorowuje zbiór X na zbiór Y wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element zbioru Y jest wartością funkcji w pewnym punkcie,

\forall{y \in Y}\; \exists{x \in X}\; f(x) = y,

co oznacza się często jako f\colon X \xrightarrow{na} Y lub f\colon X \xrightarrow[na]\ Y.

Warunkiem równoważnym jest pokrywanie się przeciwdziedziny z obrazem dziedziny, f(X) = Y, inaczej \operatorname{Im} f = Y.

Uwaga[edytuj | edytuj kod]

Należy pamiętać, że to wybór przeciwdziedziny decyduje o surjektywności lub jej braku. Przyjrzyjmy się następującym funkcjom:

f_1\colon \mathbb R \to \mathbb R określonej wzorem f_1(x) = x^2 oraz
f_2\colon \mathbb R \to [0, \infty) określonej wzorem f_2(x) = x^2.

Tylko druga z powyższych funkcji jest surjekcją, mimo że są one określone tym samym wzorem.

Zauważmy ponadto, że dowolna funkcja jest surjekcją, jeśli jako zbiór Y przyjmiemy zbiór jej wartości.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Niech x \in \mathbb R będzie zmienną rzeczywistą, wówczas poniższe funkcje są surjekcjami:

  • f\colon x \mapsto \tfrac{1}{x} dla x \ne 0 na \mathbb R \setminus \{0\},
  • f\colon x \mapsto x^a dla a \in \{2n+1\colon n \in \mathbb N\} na \mathbb R,
  • f\colon x \mapsto \ln x dla  \ x  > 0 na \mathbb R,
  • f\colon x \mapsto \operatorname{tg}\;x dla x \in \bigcup\{(-\tfrac{\pi}{2} + k\pi, \tfrac{\pi}{2} + k\pi) \colon k \in \mathbb Z \} na \mathbb R,
  • f\colon \mathbb R \overset\underset\mathrm{na}\ \to \mathbb Z, \quad f(x) = \lceil x \rceil,
  • f\colon \mathbb R \overset\underset\mathrm{na}\ \to \{1\}, \quad f(x) = 1.

Pisownia[edytuj | edytuj kod]

Słowo surjekcja tradycyjnie bywa pisane przez j, tę wersję jako jedyną dopuszczalną podaje słownik języka polskiego PWN [5]. Zasady pisowni polskiej w ogólnych przypadkach nakazują jednak stosowanie j po innych spółgłoskach niż c, s i z w wypadku, gdy przedrostek jest zakończony spółgłoską, a rdzeń zaczyna się od j; np. podjazd, nadjechał, zjawa czy rozjaśnić. W pozostałych wypadkach pisze się i. Z tego powodu dopuszczalna i przez niektórych stosowana jest pisownia suriekcja i iniekcja przez i. Jest to jednak termin fachowy, pochodzenia obcego, gdzie można stosować inne reguły i matematycy przeważnie używają pisowni surjekcja oraz injekcja przez j. Językoznawcy często uznają uzus obowiązujący wśród specjalistów posługujących się tym pojęciem. Oni zaś stosują obydwie formy, zarówno surjekcja (częściej), jak i suriekcja.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Marian Gewert, Zbigniew Skoczylas: Analiza matematyczna 1 : definicje, twierdzenia, wzory. Wyd. XI zmienione. Wrocław: Oficyna Wydawnicza GiS, 2001, s. 18. ISBN 83-85941-82-7.